江苏省南京市鼓楼区2024-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含答案.pdf

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?0,??,A??0,??,则,又因为,22:..???2C??0,???2???????C??0,??,C?0,所以?解得??2?4???C??0,??????????所以选项A正确,选项B错误;对于选项C,由C??0,?,且y?sinx在?0,?上单调递增,可得?4??2??2?sinC??0,?,所以选项C正确;对于选项D,当c?6b时,由正弦定理可得,sinC?6sinB,又?2???????2?2?B??2C,所以sinC?6sinB?6sin??2C??6cos2C?61?2sinC,则解得sinC?,所以选2?2?3项D正确;综上,()△C,|z|2=z2,则z△,z△C,|z+z|=|z-z|,则zz=012121212?13????,则z4???i??1?22?22??=(cos25°+isin25°)(cos65°+isin65°),则z=i【答案】ACD【考点】复数的综合应用【解析】由题意可知,对于选项A,可设z?a?bi,则??2|z|2?a2?b2?a2?b2,z2?(a?bi)2?a2?2abi?b2,若,|z|2?z2,则b?0,所以z?a?R,所以选项A正确;对于选项B,设z?a?bi,z?c?di,则z?z1212?(a?c)2?(b?d)2,z?z?(a?c)2?(b?d)2,若z?z?z?z,则ac?bd?0,而121212zz??a?bi?(c?d?ac?bd??ac?bd?i?ac?bdzz?0,不一定得到,所以选项B错误;对于选12112:..131313项C,若z???,所以z2???,z3?1,z4???i,所以222222?13??13??13?z4???i?????i????i??1,所以选项C正确;对于选项D,若?22??22??22???????????????z?cos25?isin25cos65?isin65?cos25?isin25sin25?icos25?sin25cos25??22?sin25cos25?sin25?cos25i?i,所以选项D正确;综上,答案选ACD第Ⅱ卷(非选择题共90分)三?填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)3???,且cos??,则tan???______.??5?4?1【答案】7【考点】同角三角函数关系?两角和与差的正切公式34sin?4【解析】由题意可知,?为锐角,且cos??,所以sin??1?cos2??,则tan???,所55cos?34?1???tan??11?3以tan???????4?1?tan?471?|z-1-2i|=2,则|z|的最大值为______.【答案】2?5【考点】复数的运算以及综合应用z?a?biz?1?2i?2a?1??b?2?i?222【解析】由题意可设,,由,可得,则(a?1)?(b?2)?2,即(a?1)2?(b?2)2?4,可令a?1?2cos?,b?2?2sin?,所以z?(2cos??1)2?(2sin??2)2?9?4cos??8sin??9?45sin???????为任意角,且1tan??)sin??????1z,当时取到最大值,所以的最大值为9?45?(2?5)2?2?52:..,F,=4N,F=5N,F与F之间的夹角是60°,则力F的大小12312123为______N.【答案】61【考点】正余弦定理在物理上的应用【解析】由题意可知,三个力F,F,F平衡,则F与F的合力F与F等大反向,所以在OFF中,由余1231231弦定理可得,F??OF?2??FF?2?2OF?FFcos120?42?52?2?4?5?cos120?61,即1111F?,在矩形ACD中,点E在边AD上,点F在边BC上,BF?CF,△BFE=120°,EF=△CEF的面积为3?3,则AB=________,sin△BEC=【答案】3;2【考点】双空题:正余弦定理在平面几何中的应用【解析】由题意,因为?BFE?120,所以?CFE?180?120?60,则在CEF中,可得1S??EF?CFsin?CFE?3?3,由EF?2,可解得CF?23?2,在CEF中,可得CEF2????123?333?11S??CF?h?3?3,所以h?AB???3,又BF?CF,所以CEF2223?23?1BF?3?1,BC?BF?CF?33?3,在BEF中,由余弦定理可得,??BE2?BF2?EF2?2?BF?EFcos?BFE?(3?1)2?22?2?3?1?2?cos120?6,解得BE?6,在CEF中,由余弦定理可得,:..??CE2?CF2?EF2?2?CF?EFcos?CFE?(23?2)2?22?2?23?2???2?cos60?24?123?[63?1]2?(32?6)2,解得CE?32?6,则在BCE中,??33?3?311BC?h3S??BC?h??BE?CEsin?BEC,则sin?BEC????BCE??22BE?CE6?32?62四?解答题(本大题共6小题,?证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)(1)求m?n的值;(2)求2m?n的值.【考点】平面向量的数量积的坐标运算?模的求解【解析】??(1)由题意,因为m??2,?23,所以m?(?2)2?(?23)2?4,所以m?n?m??n?cosm,n?4?3?cos2???6;321m?n??6|2m+n2?4m2?4m?n?n2?4?16?4???6??9?49()由()知,所以,所以|2m+n∣?.(本小题满分12分)已知z是复数,z+3i为实数(i为虚数单位),且|z|?35.(1)求z;(2)若z和(z+mi)2在复平面内对应的点都在第一象限,求实数m的取值范围.【考点】复数的运算?几何意义z?a?biz?a?bi,z?3i?a?bi?3i?a??3?b?i【解析】(1)由题意可设,则,:..又因为z?3i为实数,所以b?3,因为z?35,所以a2?b2?45,解得a??6,所以z??6?3i;(2)若z和(z?mi)2在复平面内对应的点都在第一象限,z?6?3i,(z?mi)2?(6?3i?mi)2?36?(3?m)2?12?3?m?i则,36?(3?m)2?012?3?m??03?m?3m??3,3?.所以有,且,解得一,则实数的取值范围为19.(本小题满分12分)5?在△a=7;△csinA=4;△B?这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,则求12出该三角形面积;若问题中的三角形不存在,:是否存在锐角三角形ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=8,cosB?cos(A?C)?3sinC,__________?【考点】结构不良题:解三角形与三角恒等变换综合应用osB?cos?A?C??3sinCA?B?C??【解析】在中,因为,且,?cos?A?C??cos?A?C??3sinC所以,即2sinAsinC?3sinC,???3又因为C??0,?,所以sinC?0,所以sinA?,?2?2????在ABC中,由A??0,?,可得A?,?2?31选△:由余弦定理可得a2?b2?c2?osA,即49?b2?64?16b?,解得b?3或b?5,21所以S?bcsinA?63或103;ABC2:..3选△:csinA?8??43?4,故该三角形不存在;25??选△:由B?可得,C???A?B?,124accsinA则由正弦定理可得,?,即a??46,sinAsinCsinC5?????????6?2且sinB?sin?sin????sincos?cossin?12?46?46464116?2所以S?acsinB??46?8??24?83ABC22420.(本小题满分12分)设函数f(x)?2cos2x?23sinxcosx(x?R).(1)求f(x)的最小正周期;5???(2)设方程f(x)??在区间0,内的两解分别为x,x,求cos(x-x)的值.??12122?3?【考点】三角函数的图像与性质?三角恒等变换给值求值问题?31????f?x??cos2x?1?3sin2x?2sin2x?cos2x?1?2sin2x??1【解析】(1)由题意,????,?22?6????2?2?f?x?T????;则的最小正周期为?2???5???3f?x??2sin2x??1,f?x??sin2x??(2)由(1)知??所以方程可化为:??,?6?2?6?4???3???3???3由x,x为方程sin?2x???的两个根可得,sin?2x???且sin?2x???,1264164264?????????????则在区间0,内2x??2x???,解得x?x?,即x??x,??121212?3?6633:..?????????3cos?x?x??cos?x?x?cos?2x?sin2x??所以??????12?322??32??26?421.(本小题满分12分)关于公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ的证明,,β均为锐角的情形,推导该公式常可以通过构造图形来完成.(1)填空,完成推导过程(约定:只考虑α,β,α+β均为锐角的情形)证明:构造一个矩形如图形1,在这个矩形GHMN中,点P在边MN上,点Q在边GN上,QT△HM,垂足为T,△HPQ=90°,设HQ=1,△QHP=α,△PHM=,QP=sinα,PH=cosα,在直角三角形PHM中,PM=①,在直角三角形QPN中,△QPN=β,PN=sinαcosβ,在直角三角形HQT中,QT=②,因为QT=PM+PN,所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(2)请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定:只考虑α,β均为锐角的情形)的推导.:..【考点】开放性试题:两角和的正弦公式证明PM?PH?sin??cos?sin?;HQT【解析】(1)由题意可知,在直角三角形PHM中,在直角三角形中,HQ?sin??????sin?????QT?(2)由题意可知,在ABE中,BE?AE?cos??cos?,AB?AE?sin??sin?,且AB?BE,11所以S??AB?BE?sin?cos?,ABE22?ADE????????在ADE中,,所以111S??AE?DE??1?1?sin??????????sin???????,ADE222在CDE中,CE?DE?cos??cos?,CD?DE?sin??sin?,所以11S??DE?CE?sin??sin?cos?,CDE22111S???AB?CD??BC???AB?CD???BE?CE????sin??sin????cos??cos??又,四边形ABCD2221111??sin??sin????cos??cos???sin?cos??sin??????sin?cos?所以,2222sin??????sin?cos??cos?sin?.化简可得,.(本小题满分12分)OA??1,?4?,OB??a,?3?,OC???b,0?,a?0,b?0,(1)当a?2,b?3时,求AB与AC的夹角的余弦值;13(2)若A,B,C三点共线,求?【考点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量共线的充要条件、基本不等式综合应用,OB??2,?3?,OC???3,0?a?2,b?3【解析】(1)当时,AB?OB?OA??2,?3???1,?4???1,1?,AC?OC?OA???3,0???1,?4????4,4?所以AB?AC??1,1????4,4??1???4??1?4?0则,:..AB?ACcosAB,AC??0所以;ABAC(2)若A,B,C三点共线,则AB//AC,AB?OB?OA??a,?3???1,?4???a?1,1?,AC?OC?OA???b,0???1,?4????b?1,4?又因为,4ab?a?1??4?1???b?1??04a?b?3??1则,解得,则,333因为a?0,b?0,所以1?0,?0,ab13?13??4ab?44ab74ab7?43所以????????????1?2??,ab?ab??33?3b3a3b3a34ab当且仅当?,即b?23a时取等号,b3a37?43所以1?