文档介绍：第五章二次曲线的一般理论
在平面上,二元一次方程
不同时为0)所表示的曲线,叫做二次曲线。
在这一章里,我们将讨论二次曲线的几何性质
以及二次曲线的化简,最后对二次曲线进行分类。
而由二元二次方程
代表直线,因此直线也称为一次曲线。
一般的二元二次方程
比中学阶段介绍的平面解析几何所列出的椭圆、
双曲线、抛物线方程要复杂,也不一定只代表这三
种曲线,但是关于椭圆、双曲线、抛物线这些典型
二次曲线的知识,对于分析和讨论一般二次曲线的
问题,是很好的向导。
例如,方程
代表的图形虽然简单,但方程很复杂,若作适当
坐标变换,就能化为标准方程
它表示一条抛物线。
如何适当选择坐标系呢?
建立椭圆、双曲线、抛物线的标准方程时,有
对称中心的,就把坐标原点放在对称中心(例如椭
圆和双曲线),没有中心的(例如抛物线),就把
原点放在顶点,而把一个坐标轴放在对称轴上。
一般二次曲线是否有对称中心或顶点呢?是否
有互相垂直的对称轴呢?怎样找到中心或顶点以及
对称轴,从而把二次曲线的方程化简呢?
本章就是按照这样的考虑展开讨论的,但是把
二次曲线的方程简化为标准方程并不是我们全部目
标,我们还希望结合方程的简化,对二次曲线的几
何性质作一般的分析。
为了讨论方便,先引进一些记号:
很容易得到:
所以二次曲线方程
变为
把及的系数排成矩阵,分别记为
二次曲线与直线的相关位置
讨论二次曲线
与直线
的交点,可以采用把直线方程(2)代入曲线方程(1)然后讨论关于 t 的方程
(1)
(2)
(3)
(4)
对(3)或(4)可分以下几种情况来讨论:
利用记号上式可写为: