文档介绍：幂迭代法和逆幂迭代法幂迭代法和逆幂迭代法
幂迭代法
在实际问题中,
需要知道矩阵的全部特征值和特征向量,而仅要求得到矩阵
的按模最大的特征值(或称为矩阵的主特征值)和相应的特
征向量,
,矩阵的特征值
类型介绍其中最常用的2 种方法⎯幂法和QR法.
幂法主要用于求矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向
,由此计算特征值和特征向
:
n×n
定理1 设矩阵 A∈R 有n个线性无关的特征向量 xi (i =1,
2,…,n),其对应的特征值λi (i =1, 2,…, n)满足
|λ1|>|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn| (1)
n
对任意的非零向量 v0∈R ,用A构造向量序列
vk+1 = Avk k = 0,1,2, …(2)
则有
v )( ik
lim 1 =λ=
ni )3(,,2,1
k ∞→
vk−1 )( i
式中,(vk)i 表示向量vk 的第i 个分量.
证明因为 A有n个线性无关的特征向量 xi (i =1, 2,…,n),
所以对任意的非零向量 v0都可用xi (i =1, 2,…,n)线性表示,即
v α= x + α x22110 +
+ α xnn 假定α1 ≠ 0
⎧= Avv 01
⎪ 2
12 == vAAvv 0
用A构造向量序列⎪
⎨
⎪== kvAAvv
⎪ kk −1 0
⎩
k k
∵ i i i i i i =λ=⇒λ=
,,2,1 nixxAxAx
k k k k
∴ k = = α+ α xAxAvAv 22110 +
+ αn xA n
k k k
xx 222111
λα++λα+λα= nn xn
k
n
k ⎛λ i ⎞
( x111 ∑α+αλ= i ⎜⎟ xi )4()
i=2 ⎝λ1 ⎠
k−1
n ⎛λ⎞
同理 k−1 i
vk− 11 ( x11 ∑α+αλ= i ⎜⎟ xi )
i=2 ⎝λ1 ⎠
λ
由于 i =<
ni ,),,3,2(1 故对足够大的k , 有
λ1
k k−1
k = λα 111 + ε)( vxv kk −= λ11 (α x + εk−111 )5()
n
式中−1 kk ∈εε,, 且当kR 时−1 kk →εε∞→当 x1 i ≠ 0)(.0,, 时有
v )( ik α x11 + ε)()( iki
lim λ= 1 lim λ= 1
k ∞→ vk−1 )( i k ∞→ x11 i ε+α k−1 )()( i
k
这种由已知非零向量 v0 及矩阵的乘幂 A 构造向量序列{vk}
以计算 A的按模最大的特征值λ1的方法称为乘幂法,简称为幂
.
$
T
1) 任取的非零向量 v0 应使α1 ≠ 0,通常可取v0 =(1,1,…,1) .如
果初始向量v0 选择不当,以致使α1 = 0,上述结果理论不成立,
但由于计算中的舍入误差,经过若干步以后,可有
k
k 22110
+++== xbxbxbvAv nn
其中b1 ≠ 0,但由于b1x1一项是由舍入误差得到, |b1|较小,而
vk 的第一项本在(4)式右端各项中占优势, 因此迭代收敛很慢,有
时,选择的v0虽没有使α1 = 0,但α1很小,接近于零时,迭代收
,如果发现收敛很慢,不妨另取初始
向量v0再算,或者在计算方案中一开始就选择几个不同的v0来
进行试算.
2) 由于 vk+1= Avk ,而vk+1≈λ1vk ,故有Avk ≈λ1vk,所以,vk可以
作为与λ1相应的特征向量的近似.
3) 定理的结论式(3)|λ1|
>|λ2|的要求不能满足时,应视下列不同情形具体分析:
(1) 当λ1=λ2 =…=λr (即按模最大的特征值是实r 重的)时,且
|λ1|>|λr+1|≥…≥|λn| 则仿定理的证明,对任意初始向量
n
且不全为零
0 ∑ xv ii 1
,,( ααα= r )
i=1
k
r n ⎛λ⎞
则由幂法有 kk i
k vAv 10 ( xii ∑∑α+αλ==