2004硕士研究生入学高等代数试卷.pdf

文档介绍：上海交通大学
2004 年硕士研究生入学考试试题
试题序号: 423 试题名称: 高等代数
(答案必须写在答题纸上,写在试题纸上的一律不给分)



1. 假设 f12(x)与fx()为次数不超过 3 的首项系数为 1 的互异多项式。假设
42 343
xx++1整除 f12(x)+xfx(). 试求 f12(x)与fx()的最大公因式。( 15 分)
æö101
以 33´表示数域上所有矩阵组成的线性空间。对于ç÷求
2. P P 33´ A=ç÷011,
ç÷
èø022
所有与 A可交换(即满足 AB=BA)的矩阵 B组成的线性子空间的维数及一组基。
(25 分)
3. 对于阶数分别为 nm,的实对称方阵 AB与, 假设 m阶矩阵 B是正定矩阵。试证
明:存在非零矩阵 H, 使得 B­HAH T成为正定矩阵。( HT表示矩阵 H的转置。)
(15 分)
假设与,, 是维欧氏空间中的向量组。证明:存在正交
4. α12,α,LL,,αmβ1ββ2mn
变换使得对于所有的成立,当且仅当内积
ττ()αβii= im=1,2,,L
(αi,αj)="(ββij,),ij,. (25 分)
5. 求下面多项式的所有根:
x­3­a23­­aaL n
2
­a2x­2­a2­­a2a32Laan
2 (分)
f(x).=­a3­a3a2x­2­­a33Laan 15
LLLLL
2
­an­ana23­annaLxa­­2


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6. 用VV12, 分别表示以下两个关于未知数 x,,yz的方程组的解空间:
ìax+yz+=0 ìbx+yz+=0
ï ï
íx+ayz­=0 , íx+byz+=0 .
ï ï
î­yz+=0 îx+y+=bz 0
试确定ab, 的值使得VV12+