上海交通大学05年高等代数试题.doc

文档介绍：上海交通大学 05年高等代数试题
下面的n元线性方程组何时无解,有唯一解,有无穷多组解?有解时,求出解;
证明:存在实数,使得f’(c)=0,这里f’(x)为f(x)的导函数;
在Q[x]中将f(x)分解为不可约因式之积;
对于n阶方阵A及n阶方阵B,假设,求证:;
假设是行满秩矩阵,,命,试证明:1)使得的所有X构成的一个线性子空间;2)求的维数;
假设是一个实二次型,若有n维实向量,使得试证明:存在n维非零实向量,使得
1)假设V是数域P上的n维线性空间,而是V上的线性变换,且满足(其中是V的恒等变换,i,j=1,2,3,4)。求证:是的核与的直和。
假设n阶方阵A、B、C、D关于矩阵乘法相互可以交换,如果;证明:
对于实数域上的维线性空间,如下定义V上的一个二元函数并记; 1)V关于[-,-]成为一个欧氏空间;2)对于半正定矩阵P,Q,命,求证:;
用V表示数域P上的n阶方阵的集合。1)证明矩阵的等价是集合V上的一个等价关系;2)求等价类的个数;3)对于每个等价类,各写出一个代表元;
假设G是n阶循环群;记,求证:1)关于的乘法作成群;2)G的自同构群Aut(G)与同构;
记,求多项式在F上的一个分裂域K,并在K[y]中将多项式f(y)分解因式。
对于高斯整数环,
求证;
求域;
如果是Z中的素数,试证明:;