文档介绍：一类应用题的统一解法
有关应用题中最值问题,在实际条件的约束下,不能仅靠使用重要不等式求出最值,需要借助比较法,把问题转化为与端点值的大小关系问题。
例1 某种印刷品,单面印刷,其版面(如图中阴影部分)排成矩形,版面面积为A,它的左右两边都要留宽为a的空白,上下两边都要留有宽为b的空白,且印刷品左右长度不超过定值l。问:如何选择尺寸(纸张也是矩形),才能使印刷品所用纸张面积最小?从而使印刷的总用纸量最小。
图1
解:设版面左、右长为x,上、下宽为y
则有(x>0,y>0)
设每张印刷品所用纸张面积为S
则
(1)当时,
,
当且仅当时取“=”号,解得
即此时左右长为,上下宽为
(2)当时
因为
所以
且
所以
当时取等号,即选择左、右尺寸为l,上、下尺寸为用纸量最小。
综上所述,当时,选择左右尺寸为时,上、下尺寸为2b+;
当时,选择左、右尺寸为l,上、下尺寸为所用纸量最小。
例2 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地,甲、乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时)(q>p)。已知船每小时燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k。
(I)把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(II)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?
解:(I)依题意知船由甲地匀速行驶至乙地所用的时间为,全程燃料费用为:,故所求函数及其定义域为:
(II)由题意知k、s、v、p、q均为正数,且v>p,故有
当且仅当,即时上式取等号
若,则当时,全程燃料费用y最小。
若2p>q,当时,有
因
又
所以
当且仅当v=q时等号成立,即当v=q时,全程燃料费用最小。
综上知,为使全程燃料费用最小,当时,船的实际前进速度为p;当2p>q时,船的实际前进速度应为。
例3 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀