文档介绍：第一章实数集与函数
§1实数
授课章节:第一章实数集与函数——§1实数
教学目的:使学生掌握实数的基本性质.
教学重点:
(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性;
(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式.(它们是分析论证的重要工具)
教学难点:实数集的概念及其应用.
教学方法:讲授.(部分内容自学)
教学程序:
引言
上节课中,我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、,,从大家都较为熟悉的实数和函数开始.
[问题]为什么从“实数”开始.
答:《数学分析》研究的基本对象是函数,但这里的“函数”是定义在“实数集”上的(后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数).为此,我们要先了解一下实数的有关性质.
一、实数及其性质
1、实数
.
[问题]有理数与无理数的表示不统一,,我们把“有限小数”(包括整数)也表示为“无限小数”.为此作如下规定:
对于正有限小数其中,记;对于正整数则记;对于负有限小数(包括负整数),则先将表示为无限小数,
0=
例: ;
利用上述规定,,如何比较实数的大小?
2、两实数大小的比较
1)定义1给定两个非负实数,. 其中为非负整数,为整数,.若有,则称与相等,记为;若或存在非负整数,使得,而,则称大于或小于,、,若按上述规定分别有或,则分别称为与(或).
规定:任何非负实数大于任何负实数.
实数比较大小的等价条件(通过有限小数来比较).
定义2(不足近似与过剩近似):为非负实数,称有理数为实数的位不足近似;称为实数的位过剩近似,.
对于负实数,其位不足近似;位过剩近似.
注:实数的不足近似当增大时不减,即有; 过剩近似当n增大时不增,即有.
命题:记,为两个实数,则的等价条件是:存在非负整数n,使(其中为的位不足近似,为的位过剩近似).
命题应用
,,证明存在有理数,满足.
证明:由,知:存在非负整数n,,则r为有理数,且
.即.
3、实数常用性质(详见附录Ⅱ.).
1)封闭性(实数集对)、差、积、商(除数不为0)仍是实数.
2)有序性:,关系,三者必居其一,也只居其一.
3)传递性:,.
4)阿基米德性:使得.
5)稠密性:两个不等的实数之间总有另一个实数.
6)一一对应关系:实数集与数轴上的点有着一一对应关系.
,证明:若对任何正数,有,则.
(提示:“有序性”,取)
二、绝对值与不等式
1、绝对值的定义
实数的绝对值的定义为.
2、几何意义
从数轴看,.
3、性质
1)(非负性);
2);
3),;
4)对任何有(三角不等式);
5);
6)().
三、几个重要不等式
1、
2、均值不等式:对记
(算术平均值)
(几何平均值)
(调和平均值)
有平均值不等式:即:
等号当且仅当时成立.
3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)
有不等式
当且,且时,有严格不等式
证:由且
4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式
有上式右端任何一项.
[练****br/>[课堂小结]:实数:.
[作业].(1),2.(2)、(3),3
§2数集和确界原理
授课章节:第一章实数集与函数——§2数集和确界原理
教学目的:使学生掌握确界原理,建立起实数确界的清晰概念.
教学要求:
(1)掌握邻域的概念;
(2)理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题的证明中正确地加以运用.
教学重点:确界的概念及其有关性质(确界原理).
教学难点:确界的定义及其应用.
教学方法:讲授为主.
教学程序:先通过练****形式复****上节课的内容,以检验学****效果,此后导入新课.
引言
上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论;此后又让大家自学了第一章§,我们先来检验一下自学的效果如何!
1、证明:对任何有:(1);(2) .
()
()
2、证明:.
3、设,证明:若对任何正数有,则.
4、设,证明:存在有理数满足.
[引申]:①由题1可联想到什么样的结论呢?!而要多想想,能否具体问题引出一般的结论:一般的方法?②由上述几个小题可以体