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2014届本科毕业论文(设计)
德萨格定理及其应用
所在学院:数学科学学院
专业班级:数学与应用数学09—3
学生姓名:
指导教师:
答辩日期:2014年5月8日
新疆师范大学教务处
目录
3
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基本概念 3
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应用徳萨格定理证明共点问题 6
7
应用徳萨格定理求定点 9
9
10
致谢 11
德萨格定理及其应用
摘要:德萨格定理是射影平面上的一个重要定理,它是射影几何的理论基础,也是图形的一个重要射影性质。它的应用很广泛,许多定理以它为根据。这里仅用德萨格定理与德萨格逆定理来证明共点和共线问题,体现高等几何观点对初等几何的指导作用,在解决初等几何问题方面具有独特之处。本论文通过实例说明了上述定理在初等几何中的应用。
关键词:德萨格定理及逆定理;三点形;三线形。

射影几何是高等几何中的主要组成部分,而德萨格定理则是射影几何中的基础定理之一,在射影几何中占有不可或缺的地位。发现德萨格定理的德萨格是17世纪法国著名的数学家,他1591年出生于法国里昂,1661年卒于同地。曾坐过牢,后来担任过法国军事工程师和建筑工程师。
德萨格定理在射影几何的基础里扮演着一个很重要的角色,而射影几何又是高等几何中的主要组成部分,因此德萨格定理亦是高等几何中的基础命题之一。德萨格定理的内容从完整的角度讲包括德萨格定理及其逆定理,主要研究的是三点共线或者三线共点的问题。在初等几何中有许多需要证明《点共线》或《线共点》的问题,这类问题用初等几何方法证明往往比较复杂,但用德萨格定理去证明却很容易。因此,德萨格定理和逆定理可以被应用到初等几何中的很多方面中去。并展示了高等几何在初等几何中的一些最根本的应用,全盘否决高等几何在初等几何中的无用之说。高等几何有助于我们更好地学****理解初等几何。由此体现了高等几何对初等几何的指导性意义。下面通过几个具体的实例说明它在初等几何中的应用。

基本概念
;平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性.
三点形与三线性实际上是一种图形(如图2-1),点叫做顶点,直线叫做边.
图2-1

.
(德萨格定理)如果两个三点形对应顶点的连线交于一点,则对应边的交点在一直线上.
证明(1)
如图1,因为三点共线故存在不全为零的常数使得
同理可得
,
其中不全为零;不全为零。前两式相减得
;
同理可得;
以上三式相加可得。从而三点共线定理得证。
证明(2)设有三点形与,对应顶点连线交于
一点O,对应边与的交点为X,与的交点为Y,与的交点为Z,要证X,Y,Z在一直线上。
情况(i)与位于不用的平面与内(图2),因都在五点所定的平面内,所以二直线相交。交点既在内也在内。因此点X存在且在与的交线上。
同理,与,与也都相交且交点在与的交线上
因此三点X,Y,Z在一直线上。
情况(ii)与位于同一平面内(图3)。通过O做不在内的直线P,在P上任意取两点。由直线位于直线P与所决定的平面内,所以直
线与相交,交点记以。
同理,直线与相交,交点记以。直线与相交,交点记以。
三点所决定的平面与不同(例如不再内)。考虑三点形与,二者不在同一平面内。由于交于同一点O,所以根据情况(i)知与,与,与交于同一直线上的点,即X,,,在一直线上。因此
X在平面内。但X也在平面内,这说明X在两不同平面与的交线上。
同理,Y,Z也在平面与的绞线上,所以三点X,Y,Z在一直线上。
(德萨格定理逆定理)如果两个三点形对应边的交点在一直线上,则对应顶点的连线交于一点.

应用徳萨格定理证明共点问题
例1 试证三角形三条中线共点?
证明如图设三角形ABC三条中线AD,BE,CF
(图4)
考察三点形ABC和 DEF,由于 BC∥EF,CA∥FD,AB∥DE,即三点形ABC和DEF的对应边的交点均为无穷远点从而都在无穷远直线上,故根据徳萨格定理的逆定理知它们对应顶点的连线AD,BE,CF交于一点,即三角形ABC的三条中线共点。同时,此题是中学几何中有关三角形重心的问题,用初等几何方法不够直观,也较繁杂,但用上述方法却很简便。
例2 直线AB与CD交于U,AC与BD交于V;U,V分别交AD,B