文档介绍：在那桃花盛开的地方
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探究性学习
初三数学
存在性问题
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一、课题导入:
如图,已知直线y=-4/3 x+4与x 轴、y 轴分别交于A、B两点,
D(0,2)是y轴上一点,问在直线AB上是否存在一点C,使得
以A、D、C为顶点的三角形与以A、B、O为顶点的三角形相似?
O
x
y
B
A
D
C1
C2
分析理解:根据题意可先求出A 、B 两点的坐标;假设在直线AB上存在符合条件的C点,则有两种相似的可能,可根据题意分类讨论。(1)当△BDC∽△BOA时,可推出DC∥OA,原后可推出C点坐标(2)当△BDC ∽△BAO时,可根据题目条件求出C点坐标。
注意:如果求出的C点坐标在题目允许的
范围内,则说明假设成立,判断为存在,反之则判断为不存在。
H
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存在性探究问题的一般思路是:先对结论作出肯定的假设,然后由肯定假设出发,结合已知条件或挖掘出隐含条件,辅以方程思想等,进行正确的计算、推理,再对得出的结果进行分析检验,判断是否与题设、公理、,说明假设正确,由此得出符合条件的数学对象存在;否则,说明不存在.
例题1: 已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0 有两个不相等的实数根x1、x2. (1)求k的取值范围 (2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k值;如果不存在,请说明理由
解: (1) 根据题意得△=(2k-1)2-4k2>0
解得k<1/4
∵k2 ≠0,∴k ≠0
∴当k<1/4且k≠0时,方程有两个不相等的实数根
(2)不存在实数k值,使方程的两根互为相反数
假设存在实数k值,使方程的两根互为相反数,则x1+x2=-
2k-1
k2
=0
解得k=1/2,由(1)知k<1/4且k ≠0
∴不存在实数k值,使方程的两根互为相反数
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M
O
x
y
D
B
A
(3)由抛物线形状可判断,点P若存在,只能在
y轴左侧的抛物线上,且只有6种可能(如图2所
示) ∵ OA:OB=2:1
∴P1A=P3M=2AM=20, P2A=P4M=1/2 AM=5
∴P1(-20,12)、P2(-5,12)、P3(-20,2)
P4(-5,2)
下面来求P6点的坐标
显然MP6=MD= 作P6H AM,H为垂足
由P6H2=MH·MA, 得MH=( )2 /10=2
由P6H2=MH·AH,得P6H= = 4
∴P6(-4,4),同理可得P5(-4,10)
经检验,只有P4、P5的坐标满足y=-2x2-10x +2
∴在抛物线y=-2x2-10x+2上存在
点P(-5,2)或P(-4,10),使得以P、A
M三点为顶点的三角形与△ AOB
相似
∟
x
y
A
M
P1
P2
P3
P4
P5
P6
H
D
(图1)
(图2)
O
12
6
2
⊥
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例题3: 设二次函数y=ax2+bx+c(a>0,b>0)
的图