文档介绍：坐标系与参数方程
知识与方法:
1、平面直角坐标系中的伸缩变换:设点在变换:的作用下对应到点,则称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2、在平面内取一个定点为极点。引一条射线为叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向(通常取逆时针方向)。这样就建立了一个极坐标系。对于平面内的点,设, ,称、为点的极径、极角,有序数对就叫做的极坐标。
[ 强调] :一般地,当极角的取值范围是时,平面上的点(除去极点)就与极坐标建立一一对应的关系,否则点与极坐标就不是一一对应。极点的极坐标是,其中极角是任意角。
3、负极径的规定:在极坐标系中,极径允许取负值,当时,点位于极角的终边的反向延长线上,且,可以表示为
,或
4、直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点的直角坐标与极坐标分别为和,则由三角函数的定义可以得到: ,。
5、球坐标系:设是空间任意一点,在平面的射影为,连接,记, 与轴正向所夹的角为,在平面的射影为,轴按逆时针方向旋转到时所转过的最小正角为,点的位置可以用有序数组表示,我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系),有序数组叫做点的球坐标,其
中,,。空间点的直角坐标与球坐标之间的
变换关系为:;
6、柱坐标系:设是空间任意一点,在平面的射影为,用表示点在平面上的极坐标,点的位置可用有序数组,表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组叫点的柱坐标,其中,,,空间点的直角坐标与柱坐标之间的变换关系为:;
7、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程,常见方法有三种:
(1)代入法:利用解方程的技巧求出参数,然后代入消去参数(包括整体消元)
(2)三角法:利用三角恒等式消去参数。
请注意:化参数方程为普通方程为:在消参过程中注意变量、取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围,确定和值域得、的取值范围。
8、常见曲线的参数方程:
(1)圆的参数方程为(为参数);
(2)椭圆的参数方程为(为参数);
(3)双曲线的参数方程(为参数);
(4)抛物线参数方程为参数);
(6)过定点、倾斜角为的直线的参数方程(为参数);
二、练****题:
1、在平面直角坐标系中
(1)圆经过伸缩变换:后得到的曲线的方程是___________;
(2)曲线:___________(填上曲线的方程)经过伸缩变换:后得到圆;
(3)把圆变换为椭圆的伸缩变换:__________________。
2、若,则线段的长度为_______;是______(填上三角形的形状)。
3、在极坐标系中,如果等边的两个顶点是、,则第三个顶点的坐标是_________。
4、在极坐标系中,求的中点的极坐标为_______。
5、在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是________ ;圆与圆有____条公切线;若过点且与极轴垂直的直线交曲线于点、,则_________。
6、将点的球坐标化为直角坐标_________;将点的柱坐标化为直角坐标___________。
7、将下列参数方程化为普通方程
(1) (2) (3)
(4) (