文档介绍：朱立永
北京航空航天大学数学与系统科学学院
数值分析
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答疑时间:星期三下午2:00-5:00
答疑地点:主216
第四讲 病态线性方程组求解
第二章线性方程组的解法
In puting
↓
Large Linear Systems
Ax=b
as sub-problems/
as intermediate steps
Gauss-Seidel method
Jacobi method
SOR method
Conjugate Gradient method
for symmetric systems
Gaussian elimination
LU factorization
Cholesky factorization
GMRES
GCR
Bi-CG
CGS
Bi-CGSTAB
Bi-CGSTAB2
GPBi-CG
Bi-CGSTAB(L)
perturbation
perturbation
It’s funny that such small perturbations in the coefficients lead to so big change in the solution!
数值算例
提问:求解Ax=b时,A和b的误差对x有何影响?
由实际问题建立起来的线性方程组Ax=b本身存在模型误差和观测误差,或者是由计算得到的,存在舍入误差等。总之,A,b都会有一定扰动ΔA, Δb, 因此实际处理的是A+ ΔA或b+ Δb ,我们需要分析A或b的扰动对解的影响。
矩阵的条件数与病态线性方程组
提问:求解Ax=b时,A和b的误差对x有何影响?
1:A非奇异,设精确,b有误差Δb,导致解x有多大误差?
2:设b精确,A有误差ΔA,导致解x有多大误差?设A非奇异,||ΔA|| ||A-1||<1
3:设b,A分别有误差Δb和ΔA,导致解x有多大误差?设A非奇异,||ΔA|| ||A-1||<1
解的相对误差
A的相对误差
b的相对误差
当方程组的系数矩阵A或右端项b受到扰动ΔA, Δb时,引起的解的相对误差完全由A·A-1来决定,它刻画了方程组的解对原始数据的敏感程度。
矩阵的条件数(Condition number )
定义:对非奇异矩阵A,称乘积||A|| ||A-1||为矩阵A的条件数,记为 cond(A)= ||A|| ||A^-1||
||A|| ||A^-1||是我们遇到的第二个放大因子;
cond(A)的具体大小与||∙||有关,但相对大小一致;
cond(A)的大小本质取决于A,与解题的方法无关;
cond(A)=∞,如果A是奇异的。
常用的矩阵条件数