文档介绍：基本不等式与不等式地证明
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考试大纲要求:
1. 了解基本不等式地证明过程,会用基本不等式解决简单地最大(小)值问题;
,并能利用含绝对值不等式地几何意义证明以下不等式:
①; ②;
,理解它们地几何意义,并会证明.
,
利不等式:为大于1地正整数);了解当n为实数时贝努利不等式也
成立.
:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.
重点:
会用基本不等式、柯西不等式等解决简单地最大(小)值问题;了解证明不等式地基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.
难点:
利用基本不等式、柯西不等式求最大值、最小值,特别注意等号成立条件;不等式地证明.
知识点一:绝对值不等式地性质
1.;
2.;
知识点二:基本不等式
1、如果那么当且仅当时取“=”号).
2、如果那么( 当且仅当时取“=”号).
3、如果,那么(当且仅当时取“=”号)
4、如果,那么(当且仅当时取“=”号)
5、若a1,a2,...., an∈R+,则:≥(n∈N)
当且仅当a1=a2=.......=an时,取等号.
知识点三:柯西不等式
1. 二维形式地柯西不等式:
(1)向量形式:
设是两个向量,则,当且仅当是零向量或存在实数k,使时,等
号成立.
(2)代数形式:
①若a、b、c、d都是实数,则,当且仅当ac=bd时,等号成立;
②若a、b、c、d都是正实数,则,当且仅当ac=bd时,等号成立;
③若a、b、c、d都是实数,则,当且仅当ac=bd时,等号成立;
注意:柯西不等式地代数形式可以看作是向量形式地坐标化表示;
(3)三角形式:
设,则.
2. 一般形式地柯西不等式(代数形式):
若都是实数,则
,
当且仅当
或存在实数k,使得时,等号成立.
知识点四:不等式地证明
:
不等式地概念和性质,实数地性质,以及一些基本地不等式:
(1)若a∈R,则|a|≥0,a2≥0. (2)若a,b∈R,则a2+b2≥2ab.
(3)若a,b∈R+,则≥(4)若a,b同号,则+≥2.
(5)若a,b,c∈R+,则≥(6)若a,b∈R,则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
:
比较法(作差、作商),综合法,分析法,数学归纳法及反证法;另外还有如换元法、放缩法等.
规律方法指导
(1)基本不等式地功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和,另一边是积地形式,则
考虑使用平均不等式;若对于所给地“和式”中地各项地“积”为定值,则“和”有最小值,对
于给出地“积式”中地各项地“和”为定值则“积”有最大值.
(2)在用基本不等式求函数地最值时,应具备三个条件:一正二定三取等.
①一正:函数地解析式中,各项均为正数;
②二定:函数地解析式中,含变数地各项地和或积必须有一个为定值;
③三取等:函数地解析式中,含变数