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高中教学教与学�����笨�
三次函数的图象特征与应用举例�
张伟贤�
�河南省宁陵县高级中学,��������
三次函数问题是导数应用部分最简单的�图����中,�������,��是增函数,�
,它几�无极值;�
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三次函数的图象特征给出分类,以使考生从�图����中�厂����≥��仅有/��一����
宏观上�进而从微观上�把握三次函数的图象���,����是增函数,无极值.�
特征及函数性质,以此来指导解题.�据此我们得出以下结论:三次函数���
一
、三次函数的图象特征�、�是增函数的充要条件是�����≥�.�
我们以三次函数�图����中,若设厂������的两根为�、�
����且���.则����的递增区间为�一∞,�。��
/�争�—��口������������口����: ,
��二�和��,�∞�,递减区间为��。,��,因而���
为例进行研究.�的极大值为�。�,极小值为��.�
由于�������������,其��另�式△��
同学们可自行研究三次函数,�����
��一���无非有三种情况:�
���△��;����△:�;���△��.�÷。���÷���������。���图象特征及相�
三种情况下导数厂�����的图象依次图示�关结论.�
如下:�一
、应用举例�
例������年全国高考题�设�为实数,�
厂���
��函数/����一�一��口.�
\\�//�\�/����求��的极值;�
∞\�/ ������当�在什么范围内取值时,曲线���
图���与�轴仅有一个交点.�
相应地,三种情况下�厂���的图象依次图�解����由厂��������一��一���,得�
示如下:�一�
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当�∈�一�,��时,,����;�
当�∈��,�∞�时,�������,�
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值与极小值点.�
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第�朝�高中数学教与学�
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�的极大值为�一����。�寺;��
极小值为���:。一�.�取得极大值,在�:�处取得极小值,且���
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. 当��的极大值��或,���的极小值�值,在���处取得极小值,所以�、�:是�
��时,曲线��与�轴仅有一个交点,即��������的两个根,从而�
�����或�—�