文档介绍：第六章混料(配方)设计
§ 混料设计的概念
§ 单形格子设计
§ 单形重心设计
§ 有约束的混料设计
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§ 混料设计的概念
混料设计(Mixture Design)
混料是指若干种不同成分的物质混合或合成一种稳定的物质或产品。在化工、医药、材料、食品、冶金、陶瓷等领域中,如不锈钢由铁、铬、镍、碳等元素组成;礼花的闪光剂由镁、钠、锶和固定剂组成;混凝土由水泥、石子、沙子和水组成;其它如中药、饲料等。
这些产品的每种成分的多少是用相对量表示的,这种相对量就是所用成分在总量中所占比例。然而在这种试验中各成分的比例不能自由变动,它们受到一个约束:所有成分比例的和为1。
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定义:设在一个试验中有p个成分,用表示,若试验中每一因子的取值满足如下条件:
那么称这一试验为混料试验。
使性能达到最好的每种成分的比例通常需要通过试验来确定。对这样的混料试验进行的设计称为混料设计,又称配方设计。混料试验设计中的成分又被称为因子,通常混料试验中的成分不少于三种。
一般混料中微量成分含量的确定,通常采用普通的因子设计,不用混料设计。因为它们的成分比例很小,它们的变化几乎不会引起大比例成分的显著变化。
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单形、单形的顶点与坐标
混料设计中的一些基本概念。
(1)单形与单形的顶点
方程的图形是一个p维平面,而( )为p维平面上点的坐标。在该p维平面上满足的区域构成的图形称为单形。单形是一种正多边形(正多面体),如:正三角形、正四面体等,其高度为1。
若单形上点的p个坐标中有一个为1,其它都为0,则称这种点为单形的顶点,即p维单形的顶点的坐标为:
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p=4时的单形是三维空间中的一个的正四面体()。
p=3时,其图形为三维空间中的一个平面上的等边三角形,其三个顶点的坐标分别为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),从而该等边三角形就是三维空间上的一个单形()。

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这种坐标系就是p =3时单形上的坐标系, 便是单形上点在这个坐标系下的坐标。
( 2)单形上点的坐标
我们可以在单形上建立坐标系。
在p =3时,单形是平面上的一个正三角形,设其高为1,记其三个顶点分别为X1、X2、X3,它们的坐标分别是(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。又设P 是该三角形的一个内点,定义P到边X2X3的距离为x1,到边X1X3的距离为 x2,到边X1X2的距离为x3,此时三个距离之和恰为该正三角形的高,即存在。
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在p因子的混料试验中,若设超正面体的高为1,其p个顶点记为:
A1=(1,0,0,……,0)
A2=(0,1,0,……,0)
……
Ap=(0,0,0,……,1)
其中若干个点就可以构成p维空间中的一个超平面。
记单形上任一内点P的坐标为,那么这里x1是P点到A2A3…Ap的距离,x2是P点到A1A3…Ap的距离,
……,xp是P点到A1A2…Ap-1的距离。
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混料试验的统计模型
设试验中考察的指标为y,那么y与p个因子的关系可以表示为:

这里, 是随机误差,通常假定它服从。
称为响应函数,其图形也称为响应曲面,当响应函数中的未知参数用估计值代替后便得到回归方程,也称响应曲面方程。
由于形式往往是未知的,通常用的一个d次多项式表示,此时一个混料试验由因子数p与响应多项式的次数d来确定,以后用M{p,d}表示一个混料试验。
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利用混料试验的特点,多项式中的参数可以得到简化,此时给出的多项式模型称为Scheffe正则多项式模型。
对p因子一次混料试验M{p,1}, Scheffe利用把p元一次多项式模型化为Scheffe一次正则多项式模型:
同理, p因子二次混料试验M{p,2}的Scheffe二次正则多项式模型为:
同理, p因子三次混料试验M{p,3}的Scheffe三次正则多项式模型为:
一般的混料试验多用一次、二次多项式模型,对于混料二次多项式模型而言,其待估参数的个数要比一般p元二次多项式模型少p+1个。
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§ 单形格子设计(Simplex Lattice Design)
试验设计方法
单形格子设计是Scheffe提出的一种混料设计,它奠定了混料设计的基础。M{p,d}的单形格子设计,为d阶格子设计,它将单形的边划分成d等份,在等分点做与其它边平行的直线,形成许多格子,故名单形格子设计。
如:p=3,一阶、二阶和三阶单形格子设计的点分布图。
M{3,1}
M{3,2}
M{3,3}
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