文档介绍：函数概念
(一)知识梳理
设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任意元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从到的映射,通常记为,f表示对应法则
注意:⑴A中元素必须都有象且唯一;⑵B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。
(1)函数的定义:
设是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中的每一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从到的一个函数,通常记为
(2)函数的定义域、值域
在函数中,叫做自变量,的取值范围叫做的定义域;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合称为函数的值域。
(3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则
:图象法、列表法、解析法
(1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
(2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
(二)考点分析
考点1:映射的概念
例1.(1),,;
(2),,;
(3),,.
上述三个对应是到的映射.
,,,则到的映射有个,到的映射有个,到的函数有个
,,如果从到的映射满足条件:对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数,则映射的个数是( )
8个 12个 16个 18个
答案:1.(2);,64,81;3.
考点2:判断两函数是否为同一个函数
例1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1),;
(2),
(3),(n∈N*);
(4),;
(5),
[答案](1)、(2)、(4)不是;(3)、(5)是同一函数
考点3:求函数解析式
方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;
(2)若已知复合函数的解析式,则可用换元法或配凑法;
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出
题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式
,求(三种方法)
例2.(09湖北改编)已知=,则的解析式可取为
题型2:求抽象函数解析式
,求
考点4:求函数的定义域
题型1:求有解析式的函数的定义域
(1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围,实际操作时要注意:①分母不能为0;②对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数应为非负数;④零指数幂中,底数不等于0;⑤负分数指数幂中,底数应大于0;⑥若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。
例1.(08年湖北)函数的定义域为( )
A.;B.;C. ;D.
答案:
题型2:求复合函数和抽象函数的定义域
例1.(2007·湖北)设,则的定义域为( )
A. ;B. ;C. ;D.
答案:B.
,求的定义域
,求函数的定义域
(-2,0),求的定义域(-3<x<-1)
考点5:求函数的值域
求值域的几种常用方法
(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,
如求函数,可变为解决
(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,
如函数就是利用函数和的值域来求。
(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数的值域
(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域,因为
(5)利用基本不等式求值域: 如求函数的值域
(6)利用函数的单调性求求值域: 如求函数的值域
(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域
(8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数,的最小值。(-48)
(9)对勾函数法像y=x+,(m>0)的函数,m<0就是单调函数了
三种模型:(1)如,求(1)单调区间(2)x的范围[3,5],求值域(3)x [-1,0 )(0,4],求值域
(2)如,求(1)[3,7]上的值域(2)单调递增区间(x0或x4)
(3)如, (1)求[-1,1]上的值域(2)求单调递增区间
函数的单调性
(一)知识梳理
1、函数的单调性定义:
设函数的定义域为,区间,如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调增函数,称为的单调增区间;如果对于区间内的任意两个值,,当