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第��卷第�期�大�学�数�学����.��,��.��
����年�月�������������������������.�����
矩阵对的相似标准形�
徐运阁,�马晓静�
�湖北大学数学与计算机科学学院,武汉��������
�摘要�设�,�,�,�都是”阶方阵,矩阵对��,��相似于矩阵对��,��,如果存在”阶可逆矩阵�,使�
得�—����,�—�����.本文借助���������约化算法,提供一种在相似变化下化任一”阶矩阵对为标准形的�
有效方法,该方法可以看作������标准形的推广.�
�关键词�矩阵对;����矩阵;以一相似;标准形�
�中图分类号�����.����文献标识码����文章编号�����—������������—����—���
��引�言�
矩阵的������标准形理论是矩阵的核心内容,�
中,我们经常会遇到在一定的条件下两个�阶方阵同时相似于对角阵的问题Ⅲ��.很自然地,我们可以考�
虑下面的问题:设�,�,�,�都是�阶方阵,我们称矩阵对��,��相似于矩阵对��,��,如果存在�阶可�
逆矩阵�,使��������,��������.那么能否类似于单个矩阵的������标准形理论,给出矩阵对�
��,��的相似分类呢�该问题称为古典矩阵对的相似分类问题,在历史上一直被认为是没有希望解决�
的���.这个问题等价于代数闭域�上的二元自由结合代数���,��的表示的分类问题,该代数是一个�
典型的����,但我们可以考虑一较弱的问�
题:设��,��是一个�阶矩阵对,那么是否存在可逆矩阵�,使得��。��,����是某种意义下的标准�
形��
本文借助���������约化算法���,提供一种在相似变化下化任一�阶矩阵对为标准形的有效方法,该�
方法可以看作�������为代数闭域.�
������矩阵�
设��,��是任意给定的�阶矩阵对,由������定理知,存在可逆阵�,使得�一。��—��其中�,为�
������形矩阵�.当继续约化����为标准形的时候,我们必须保证�,不被改变,即我们必须找到一个�
可逆的矩阵�,使得���,�—�,且���������,用于约化�����
的可逆阵�只能取�
�一��∈���������,�����
中的矩阵,其中������表示域�上的��中的矩阵具有较好的形状,我们�
将考虑把矩阵�,取为����矩阵,这样�将由分块上三角矩阵组成.�
定义����设�
����一�����④�一。����④⋯④�,。����
�收稿日期�����—��—���
�基金项目�湖北省教育厅重点项目�����������;湖北省教育厅教研项目����������
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第�期�徐运阁,等:矩阵对的相似标准形�����
为一������形矩阵,其中���.:��为�阶的若当块,.:�为特征值,�∈��,�—�,�一�,⋯,�.令�一���
�⋯��,则�≥��≥�