文档介绍：第二章
非线性求解
September 30, 1998
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- Release (0011)
在完成本章的学****后,应理解非线性分析中所用到的基本术语:
1. Newton-Raphson法
2. 收敛
3. 载荷步,子步和平衡迭代
4. 自动时间步
5. 输出文件信息
6. 非线性求解自动控制
7. 非线性求解过程
8. 高级求解控制
9. 重启动分析
目标
2000年10月16日
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非线性求解
F
u
在非线性分析中,不能直接由线性方程组推得响应。需要将载荷分解成许多增量求解,每一增量确定一平衡条件。
2000年10月16日
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渐变式加载
非线性求解的一种方法是将载荷分解为一系列增量。在每一增量步求解结束后,调节刚度矩阵以适应非线性响应。
纯增量法的问题在于载荷增量步导致误差累积,使最终结果偏离平衡。
F
u
误差
累计响应
位移
载荷
2000年10月16日
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Newton-Raphson 法
ANSYS 使用Newton-Raphson平衡迭代法克服了增量求解的问题。在每个载荷增量步结束时,平衡迭代驱使解回到平衡状态。
F
u
一个载荷增量中全 Newton-Raphson 迭代求解。(四个迭代步如图所示)
位移
载荷
1
2
3
4
2000年10月16日
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Newton-Raphson法(续)
Newton-Raphson 法迭代求解使用下列方程:
[KT]{u} = {Fa} - {Fnr}
这里:
[KT] = 切向刚度矩阵
{u} = 位移增量
{Fa} = 施加的载荷矢量
{Fnr} = 内力矢量
目标是迭代至收敛(后面定义)。
Fa
u
1
2
3
4
[KT]
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Newton-Raphson 法(续)
Newton-Raphson法是ANSYS用于求解非线性方程组的一种数值方法。 Newton-Raphson法基于增量加载与迭代,使每个载荷增量步达到平衡。
Newton-Raphson 法的优点是对于一致的切向刚度矩阵有二次收敛速度(在以后有详细的探讨)。也就是每一迭代步的求解误差与前一步误差的平方成正比。
2000年10月16日
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收敛
Newton-Raphson 法需要一个收敛的度量以决定何时结束迭代。给定外部载荷(Fa),内部载荷( Fnr )(由单元应力产生并作用于节点),在一个体中,外部载荷必须与内力相平衡。
Fa - Fnr = 0
收敛是平衡的度量。
2000年10月16日
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收敛(续)
Fa
u1
Newton-Raphson 迭代过程如下所示。基于 u0 时的结构构形,计算出切向刚度KT,基于F 计算出的位移增量是u ,结构构形更新为 u1。
Fnr
u
在更新的构形中计算出内力(单元力) 。迭代中的Newton-Raphson 不平衡量是:
R = Fa - Fnr
F
u0
位移
载荷
R
KT
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收敛(续)
Newton-Raphson不平衡量(Fa - Fnr) 实际上从未真正等于零。当不平衡量小到误差允许范围内时,可中止Newton-Raphson 迭代,得到平衡解。
在数学上,当不平衡量的范数||{Fa} - {Fnr}||小于指定容限乘以参考力的值时就认为得到收敛。
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