文档介绍：学大教育个性化教学学案
姓名
年级
性别
课题
函数的周期性和对称
教学目的
了解函数的周期性,会判断函数图像的对称性。
教学重难点
会灵活运用函数的周期性和对称性解题。
教学过程
知识点归纳:
周期性:
(1),则的周期T=a;
(2),或或,或,则的周期T=2a;
象对称性:
与关于X轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
与关于Y轴对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
与关于直线对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
与关于直线对称。
换种说法:与若满足,即它们关于对称。
关于点(a,b)对称。
换种说法:与若满足,即它们关于点(a,b)对称。
与关于直线对称。
函数的轴对称:
定理1:如果函数满足,则函数的图象关于直线对称.
推论1:如果函数满足,则函数的图象关于直线对称.
推论2:如果函数满足,则函数的图象关于直线(y轴),.
函数的点对称:
定理2:如果函数满足,则函数的图象关于点对称.
推论3:如果函数满足,则函数的图象关于点对称.
推论4:如果函数满足,,.
总规律:定义在R上的函数,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在。
周期性与对称性考点解析
周期性:考查周期性题型解答抓住周期函数定义,关键是否能找到非零实数使之恒成立,则为函数一个周期,也为函数的一个周期.
常用抽象周期函数结论:函数在其定义域内的任一实数满足
(1)恒成立,则是以为周期的周期函数;
(2)恒成立,则是以为周期的周期函数;
(3)恒成立,则是以为周期的周期函数;
(4)函数满足()恒成立,若为奇函数,则其周期为,若为偶函数,则其周期为.
(5)函数的图象关于直线和都对称,则函数是以为周期的周期函数
总结:周期函数模型很多,常用的为以上几种类型,可以发现,上述模型最终都可以推导出恒成立的形式,也就是说一个函数可以最终推断出等式两边变量相减为常数的形式(可以结合图像分析),则为周期函数,反之亦然.
例1 函数对任意实数满足,若, .
解析:抽象函数周期推导总是以原恒成立等式推到而出
解:由题意有,故函数是周期函数,其中一个周期为6,故
.
练****1 函数对任意实数满足,若, .
练****2 函数对任意实数满足,当时,, .
例2 函数对任意实数满足,若, .
解析:周期函数模型,由题目已知恒等式推导出周期等式
解:由题意,则,故
练****1 函数对任意实数满足,若, .
练****2 函数对任意实数满足,若,则.
例3 已知函数是以4为周期的奇函数,且当时,,则.
解析:此题考查周期与奇偶性的结合,
解:
例4 已知函数为定义在上的偶函数,且对于任意的满足,,则.
解析:周期结合奇偶性,由奇偶性及题目等式推导出周期,然后求值
解:,故是周期为6的偶函数,
练****1已知函数是以3为周期的奇函数,且当时,,则.
练****2已知函数是以5为周期的偶函数,且当时,,则.
练****3函数为定义在上的偶函数,且对于任意的满足,,则
练****4函数为定义在上的奇函数,且对于