文档介绍：王增浩数学第五课时
导数专题
一、导数的基本应用
(一)研究含参数的函数的单调性、极值和最值
基本思路:定义域→→疑似极值点→→单调区间→→极值→→最值
基本方法: 一般通法:利用导函数研究法
特殊方法:(1)二次函数分析法;(2)单调性定义法
第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注,以及求导运算和分类讨论的能力与技巧
【例题1】已知函数,求导函数,并确定的单调区间.
解:.
令,得.
当,即时,,所以函数在和上单调递减.
当,即时,的变化情况如下表:
0
当,即时,的变化情况如下表:
0
所以,时,函数在和上单调递减,在上单调递增,
时,函数在和上单调递减.
时,函数在和上单调递减,在上单调递增.
第二组本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧
【例题2】已知函数的图象过点,且函数的图象关于y轴对称.(Ⅰ)求的值及函数的单调区间;(Ⅱ)若,求函数在区间内的极值.
解:(Ⅰ)由函数图象过点,得,………①
由,得,则;
而图象关于轴对称,所以-,所以,
代入①.
由得或,故的单调递增区间是,;
由得,故的单调递减区间是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,令得或.
当变化时,、的变化情况如下表:
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
增
极大值
减
极小值
增
由此可得:当时,在内有极大值,无极小值;
当时,在内无极值;
当时,在内有极小值,无极大值;
当时,在内无极值.
综上所述,当时,有极大值,无极小值;当时,有极小值,无极大值;当或时,无极值.
点评:本题是前面两个例题的变式,同样考查了对导函数零点的分类讨论,但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围,故此题思路不难,旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识,并提升其详尽分类,正确计算的水平.
【例题3】已知函数,a>0,
(I)讨论的单调性;
(II)设a=3,求在区间[1,]=…是自然对数的底数.
解:(Ⅰ)由于,令得
当,即时,恒成立,∴在上都是增函数.
当,即时,
由得或
∴或或
又由得,∴
综上,当在上都是增函数;
当在及上都是增函数,
在是减函数.
(2)当时,由(1)知,在[1,2]上是减函数,在[上是增函数.
又
∴函数在区间[1,]上的值域为.
点评:
(1)第一问在前面例题的理论基础上,进一步加大了运算的难度,涉及到了换元法,分母有理化等代数技巧;
(2)第二问将问题延伸到了函数值域上,过程比较简单,是一个承上启下的过渡性问题.
(二)利用函数的单调性、极值、最值,求参数取值范围
基本思路:定义域→→单调区间、极值、最值→→不等关系式→→参数取值范围
基本工具:导数、含参不等式解法、均值定理等
【例题4】已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.
(I)求函数的解析式;
(II)设函数,若的极值存在,求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.
解:(I)由已知,切点为(2,0),故有,即……①
又,由已知得……②
联立①②,
(II)因为令
当函数有极值时,,得.
①当时,有实数,在左右两侧均有,故无极值
②当时,有两个实数根情况如下表:
+
0
-
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在时,函数有极值;
当时,有极大值;当时,有极小值;
点评:
本题第一问是求曲线切线的逆向设问,解题过程进一步强化了对切点的需求.
本题第二问是函数求极值的逆向设问,解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值,难度不大.
【例题5】设,函数.
(Ⅰ)若是函数的极值点,求的值;
(Ⅱ)若函数,在处取得最大值,求的取值范围.
解:(Ⅰ).
因为是函数的极值点,所以,即,因此.
经验证,当时,是函数的极值点.
(Ⅱ) 由题设,.
当在区间上的最大值为时,
,
反之,当时,对任意,
,
而,故在区间上的最大值为.
综上,的取值范围为.
点评:
本题是求函数最值的逆向问题,答案所用的解法是一种比较特殊的方法,具有一定的思维难度.
本题若用一般方法,则可求出g(0)=0,将问题转化为g(x)≤0的恒成立问题,此种解法的计算量将有所加大.
(三)导数的几何意义
【例题6】设函数,曲线在点处的切线方程为.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
解:(Ⅰ)方程可化为,当时,;
又,于是,解得, 故
(Ⅱ)设为曲线上任一点,由知曲线在点处的切线方程为
,即
令,得,从而得切线与直线的交点坐标为;