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数列在日常经济生活中的应用学问点一零存整取模型[填一填](1)单利:单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息=本金×利率×,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S=P(1+nr).(2)复利:把上期末的本利和作为下一期的本金,=P(1+r)n.[答一答]:(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S=P(1+nr).(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S=P(1+r)n.(3)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y=N(1+P)x.(4)分期付款模型:a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b=.学问点二数列学问的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列学问有着广泛的应用,,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的学问.(2)解决数列应用题的基本步骤为:①细致阅读题目,细致审题,将实际问题转化为数列模型;②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题;③检验结果,写出答案.[答一答]?提示:、等比数列应用题时,首先要细致审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,(1)精确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注:最终一次付款没有利息).(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最终一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最终一次付款时的利息之和,只有驾驭了这一点,【例1】有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存;到约定日期,可以提出全部本金及利息,:本利和=每期存入金额×.(1)试说明这个本利和公式;(2)若每月初存入100元,‰,到第12个月底的本利和是多少?(3)若每月初存入一笔金额,‰,希望到第12个月底取得本利和2000元,那么每月应存入多少金额?【思路探究】存款储蓄是单利计息,若存入金额为A,月利率为P,则n个月后的利息是nAP.【解】(1)设每期存入金额A,每期利率P,存入期数为n,则各期利息之和为AP+2AP+3AP+…+nAP=n(n+1),就得:本利和=nA+n(n+1)AP=A.(2)当A=100,P=‰,n=12时,本利和=100×=(元).(3)将(1)中公式变形得A==≈(元).,是等差数列模型的应用. 王先生为今年上中学的女儿办理了“教化储蓄”,已知当年“教化储蓄”‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元?(2)若教化储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教化储蓄每月至多存入多少元?此时3年后本息合计约为多少元?(精确到1元)解:(1)设王先生每月存入A元,则有A(1+‰)+A(1+2׉)+…+A(1+36׉)=20000,利用等差数列前n项和公式,得A=20000,解得A≈529元.(2)由于教化储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教化储蓄每月至多存入≈555(元),这样,3年后的本息和为:555(1+‰)+555(1+2׉)+…+555(1+36׉)=555≈20978(元).类型二关于复利模型问题【例2】小张为实现“去上海,看世博”的幻想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a元(一年定期),若年利率r保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将全部存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数.【思路探究】由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n项和的模型.【解】依题意每一年的本息和构成数列{an},则2005年2月1日存入的a元钱到2006年1月31日所得本息和为a1=a(1+r).同理,到2007年1月31日所得本息和为a2=[a(1+r)+a](1+r)=a(1+r)2+a(1+r),到2008年1月31日所得本息和为[a(1+r)2+a(1+r)+a](1+r)=a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r),到2009年1月31日所得本息和为[a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)+a](1+r)=a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r),到2010年1月31日所得本息和为[a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)+a](1+r)=a(1+r)5+a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a(1+r)5+a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)=a·=[(1+r)6-(1+r)](元).规律方法本例主要考查阅读理解实力,这里关键是每年2月1日又新存入a元,,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,,才能实现经过5年资金达到2000万元的目标?解:(1+50%)-x;2024年底剩余资金是[1000(1+50%)-x]·(1+50%)-x=1000(1+50%)2-(1+50%)x-x;……5年后达到资金1000(1+50%)5-(1+50%)4x-(1+50%)3x-(1+50%)2x-(1+50%)x=2000,解得x=459(万元).类型三分期付款模型【例3】用分期付款的方式购买一件家用电器,,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,,问:分期付款的第10个月需交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱?【思路探究】构建等差数列模型,利用等差数列的前n项和公式求解.【解】购买时付款150元,欠1000元,以后每月付款50元,{an},则a1=50+1000×1%=60,a2=50+(1000-50)×1%==60-×1,a3=50+(1000-50×2)×1%=59=60-×2,……a10=50+(1000-50×9)×1%==60-×9,则an=60-(n-1)=-+(1≤n≤20).所以数列{an}是以60为首项,-,所以付款总数为S20+150=20×60+×(-)+150=1255(元).,,而不是950元的利息,,‰,按复利计算,每月等额还贷一次,,那么每月应还贷多少元?(参考数据:≈)解:方法一:由题意知借款总额a=200000(元),还款次数n=12×10=120,还款期限m=10(年)=120(个月),月利率r=‰.代入公式得,每月还款数额为:≈,:设每月应还贷x元,共付款12×10=120(次),则有x[1+(1+)+(1+)2+…+(1+)119]=200000×(1+)120,解方程得x≈【例4】从社会效益和经济效益动身,某地投入资金进行生态环境建设,,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年削减,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预料今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【思路探究】(1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n项和公式易得an与bn;(2)建立an与bn的不等关系,解不等式即得.【解】(1)第一年投入为800万元,其次年投入为800万元,…,第n年投入为800n-1万元,各年投入依次构成以800为首项,1-=为公比的等比数列,所以n年内的总投入为an==4000-4000·,其次年旅游业收入为400万元,…,第n年旅游业收入为400n-1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1+=为公比的等比数列,所以n年内的旅游业总收入为bn==1600n-1600.(2)设经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,则bn-an>0,即1600n-1600-4000+4000n>0,化简得2n+5n-7>=x,代入上式得5x2-7x+2>0,依据二次函数y=5x2-7x+2的图像解此不等式,得x<或x>1(舍去),即n<,由此得n≥,:(1)由题意构建等比数列模型(有时须要从特殊状况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型);(2)确定其首项a1与公比q,分清是求第n项an,还是求前n项和Sn;(3)利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解;(4)、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最终甲、、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,:设甲原价是m元,则m(1+10%)2=9801?m=,设乙原价是n元,则n(1-10%)2=9801?n=.(m+n)-2×9801=9801×-19602=9801×-19602=20200-19602=598.——多维探究系列——数列中的探究性问题探究性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探究,结合已知条件,进行视察、分析、、,而且给考生供应了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,:条件探究性问题、规律探究性问题、结论探究性问题、存在探究性问题等.【例5】已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.(1)求数列{an}的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2013?若存在,求出符合条件的全部n的集合;若不存在,说明理由.【思路分析】(1)依据已知条件得出关于a1,q的方程组,求解即可;(2)只需表示出前n项和,解指数不等式.【规范解答】(1)设等比数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠{an}的通项公式为an=3×(-2)n-1.(2)由(1)有Sn==1-(-2),使得Sn≥2013,则1-(-2)n≥2013,即(-2)n≤-,(-2)n>0,上式不成立;当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2012,即2n≥2012,则n≥,存在符合条件的正整数n,且n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.【名师点评】求解此类题须要同学们娴熟运用公式和相关概念来构建方程(组),≥~{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N+)在直线x-y+1=0上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,Sn表示数列{bn}的前n项和,试问:是否存在关于n的关系式g(n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)·g(n)对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,:(1)由点P(an,an+1)在直线x-y+1=0上,即an+1-an=1,且a1=1,即数列{an}是以1为首项,=1+(n-1)×1=n(n∈N+).(2)假设存在满意条件的g(n),由bn=,可得Sn=1+++…+,Sn-Sn-1=(n≥2),nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1,(n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1,…2S2-S1=S1+(n-1)个等式等号两端分别相加得nSn-S1=S1+S2+S3+…+Sn-1+n-1,即S1+S2+S3+…+Sn-1=nSn-n=n(Sn-1),n≥(n)=n,故存在关于n的关系式g(n)=n,使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)·g(n)、,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少须要( B ) :依题意,得1+21+22+…+2n-1≥100,∴≥100,∴2n≥101,∴n≥7,,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x的值是( C )A. B. C. :一次砍伐后木材的存量为S(1+25%)-x;二次砍伐后木材存量为[S(1+25%)-x](1+25%)-x=S-x-x=S(1+50%),解得x=.,要使工厂的年总产值到2024年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )----1二、,那么年平均增长率为(1+p)12-:一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1+p的等比数列,设去年年底产值为a,∴a12=a(1+p)12,∴年平均增长率为=(1+p)12-,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金(-1):设第n年投入的资金为an万元,则an+1=an+an×30%=,则=,所以数列{an}是首项为500,,所以7年后该公司共投入资金S7===(-1)(万元).