文档介绍：COMSOL Multiphysics
PDE
PDE的简介
定义:一个包含两个或多个变量的未知函数及其偏微分的方程
分类
线性 vs. 非线性
标量方程 vs. 系统
线性PDE系统
非线性PDE系统
线性标量 PDE
非线性标量 PDE
PDE分类矩阵
困难程度
初期要点
“求解” PDE 意味着什么?
适定的问题;存在,唯一,以及平滑
COMSOL使用 FEM 来数值逼近解
一些约定
线性问题
对流输送方程
Laplace方程
传热方程
波动方程
Helmholtz方程
对非均匀问题,将0用一个自变量的函数来代替
1D迁移方程
初始值问题
初始值g以“速度” b “输送”
需要考虑数值稳定性(参见模型库中的“A Transport Problem”)
-L
L
求解域(–L, L)
周期性边界条件
初始条件
解
Laplace方程
“原始的” PDE
模拟温度、扩散、静电传导
正则椭圆PDE方程
满足这个方程的函数
称为“调和函数”
满足“平均值原理”和“最大值原理”
伴随“Laplace算子”是表现良好和众所周知
传热方程
时间依赖性的热传导(稳态问题退化到Laplace方程)
正则抛物线PDE
同时满足“完美”性,特别是它消除“缺陷”初始数据和边界条件
波动方程
一种Newton定律F=m*a的微分形式
与输送方程紧密相关
正则双曲线PDE
初始条件和“依赖域”的平滑
频域,波动方程变成Helmholtz方程—更适于 FEM
Helmholtz方程
精确描述波现象
如果λ已知,描述时谐传播
如果λ未知,解特征频率和特征模态(特征函数)
波动方程的Fourier变换
适合于FEM
案例研究:对流-扩散方程
分析两个竞争性算子的效果-输送 vs. 扩散
随着 c/β比例减小,问题变得数值不稳定,高Peclet (Pe) 数
能做什么?