2、典型事例［精］.ppt

文档介绍：第四节
一、三角级数及三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
第十二章
傅里叶级数
称函数项级数
为三角级数.
一、三角级数及三角函数系的正交性
三角函数系
定理 1. 组成三角级数的函数系
证:
同理可证:
正交,
上的积分等于 0 .
即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分不等于 0 .
且有
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2的周期函数, 且
右端级数可逐项积分, 则有
证: 由定理条件,
①
②
对①在
逐项积分, 得
叶系数为系数的三角级数①称为
的傅里叶系数;
由公式②确定的
①
②
以
的傅里
的傅里叶级数.
称为函数
定理3 (狄利克雷收敛定理)
x 为间断点
其中
为 f (x) 的傅里叶系数.
x 为连续点
即
处收敛于
例1.
则它的傅里叶级数在
在
处收敛于.
提示:
设周期函数在一个周期内的表达式为
,
在
处收敛于.