文档介绍：内蒙古财经学院本科毕业论文
求极值的若干方法
姓名:王文浈
系别:统计与数学学院
专业:数学与应用数学
年级:08级
学号:802091147
指导老师:杨芳
评论:
成绩:
指导老师:杨芳
内容提示
摘要:函数极值是高等数学和微积分中的重要内容,它不仅在实际问题中占有重要的地位,而且也是函数性态的一个重要特征,对一般函数极值问题的要点,方法及一般规律性进行研究和探讨,目的在于拓宽学生的解题技巧和思路,因此研究函数极值是数学的重要课题。
关键词:极值,极大值,极小值,导数,条件极值
求极值的若干方法
求函数的极值包括求一元函数的极值和多元函数的极值,极值又一般分为无条件极值和条件极值两类,无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题;条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外,还受其他条件限制的极值问题,条件极值一般是对多元函数而言。在此我们主要讨论一元函数与多元函数的极值。
一求一元函数的极值
定义1 设一元函数在及其附近有定义,如果对附近的所有的点,,则是函数的一个极大值,如果附近的所有的点,、都有,则是函数的一个极小值,极大值与极小值统称为极值。
定理2 函数在的某邻域内可导,为的极值点,则=0.
由此可以看出,函数的极值点一定是驻点或导数不存在的点,因此,要找极值点,只要找出导数等于零和导数不存在的点,极值点一定在其中。但究竟哪个是极值点哪个不是极值点还需进一步判断。下面给出几种常用的条件:
定理3(极值点第一判别法)
设在连续,在的某空心邻域可导,
(1)则x0为的极大(小)值点
(2)则不是的极值点
下面简证上述定理,由单调函数与导数的关系知,
在内递增,在内递减,
又由于在处连续,故,恒有,
即在取最大值,同理,可证另一部分。
求的极值点和极值
解在上连续,且当时,有
易见,为的稳定点,为的不可导点,这两点是否是极值点,需作进一步讨论。
应用定理3可知: 点为的极大值点,极大值为;为的极小值点,极小值
若是二阶可导函数,则有如下判别极值的定理
定理4(极值点第二判别法)
设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且。
若,则在取得极大值
若,则在取得极小值
证明:由条件,可得在处的二阶泰勒公式
由于,因此
又因,故存在正数,当时,与同号,所以,当时,
取负值,从而对任意
有既在取极大值,同样对,可得在取极小值
求的极值点与极值
解当时,
令,求得稳定点。又因
由定理4知为的极小值点,极小值
对于应用二阶导数无法判别的问题,可借助更高阶的导数来判别
定理5(极值点第三判别法)
设在的某邻域内存在直到阶导函数,在处阶可导,
且则
(1)当为偶数时,在取得极值,且当时取极大值,时取极小值。
(2)当为奇函数时,在处不取极值
例3 试求函数的极值
解由于,因此是函数的三个稳定点。
的二阶导数为
,
由此得,及。所以在时取得极小值,求三阶导数
,
有,。由于为奇数,由定理5知在不取极值,再求的四阶导数
,
有,因为为偶数,故在取得极大值。
综上所叙,为极大值,为极小值。
二求多元函数的极值
多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用,它还可分为条件极值与无条件极值两类,这里我们主要以二元函数为例进行讨论。
定义6 设函数在点(x0,yo)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点,都有
(或),
则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值,为极大值点(或极小值点)极大值和极小值统称极值,极大值点,极小值点统称极值点。
在此,我们可把多元函数极值问题分为条件极值和无条件极值两类。
无条件极值类
与一元函数无条件极值一样,关于多元函数无条件极值的判定,我们有
定理7(充分条件) 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又, 令
, ,
则在处是否取得极值的条件如下:
(1) AC-B2>0时具有极值, 且当A<0时有极大值, 当A>0时有极小值;
(2) AC-B2<0时没有极值;
(3) AC-B2=0时可能有极值, 也可能没有极值。
此时我们应注意的几个问题:
⑴对于二元函数,在定义域内求极值这是一个比较适用且常用的方法, 但是这种方法对三元及更多元的函数并不适用;
⑵AC-B2=0时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论;
⑶如果函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,但也可能是极值点,讨论函数的极值问题时这些点也应当考虑。
因此我们有极值的求法: