文档介绍：构造性方法解题的应用举例
建始一中游成娟
解数学问题时,常规的思考方法是由条件到结论的定向思考,但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困难,甚至无从下手,在这种情况下,经常要求我们改变思维方向,换一个角度,以找到一条绕过障碍的新途径,构造性思想和方法是这样的一种手段。
例1 设是实数,求的最小值。
解:把题中式子变形为这可以看作是直角坐标系中动点P(,0)到A(1,1)与B(5,3)的距离之和,作出A关于轴的对称点A(1,-1)则AB和轴的交点C(2,0)到A,B的距离之和最小,且最小值是。
注这里的特点在于“换一个角度看问题”,针对问题的特点,构造一个“模型”,在这个模型上,问题变得直观和易于解决。
例2 证明:
O
M
N
A
C
B
D
证如图,作依次地,在OM上取OA=1;在ON上取异于O的B点,使AB=1;在OM上取异于A的C,使BC=1;在ON上取异于B的D,使CD=1,易得
从而
OC=OD,但OC=OA+AC=1+2AB
OD=OB+BD=
从而
在解题时,构造性思想还可以体现在,把题设条件数量关系,构想、组合成一种新的具体关系,例如构造出与问题有关的方程、函数、数列、恒等式等,从下面的例子可以看出,这种想法的实现是非常灵活的,不可生搬硬套。
例3 设实数,,满足:证明,,成等差数列。
证如果=,则==,从而结论成立,假设≠,则条件意味着二次方程
有两个相等的实根。
另一方面(观察上面的辅助方程)方程的系数之和为零,从而为重根,由韦达定理,得到即,,成等差数列。
构造实例和反例是基本技能之一,所谓构造实例的意思是说,举一例子说明一个命题可以为真,而为了说明一个命题不真,常常选择一个符合题设条件但命题结论不成立的特例。
例4 设有n个实数,满足|xi|<1(i=1,…,n),