文档介绍：不等式的证明之柯西不等式
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:(a12+a22+…+an2)( b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2
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(λ12a12+λ22a22+…+λn2an2)( ++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2
利用柯西不等式可以证明数学竞赛中难度较大的分式不等式,只要恰当的选取参数λi,问题即可获证.
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,bi∈R+,(i=1,2,3,…,n),且满足a1+a2+…+an= b1+b2+…+bn.
求证: ++…+≥(a1+a2+…+an)
(a1+a2+…+an)2=(·+·+…+·)2≤[()2+()2+…+()2]·[()2+()2+…+()2]≤(a1+b1+a2+b2+…+an+bn)·(++…+)=2(a1+a2+…+an)·()++…+ ∴++…+≥(a1+a2+…+an)
,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=1.
求证: ++…+≥
++…+≥等价于:++…+≥即:-1+-1+…+-1≥++…+-n≥++…+≥+n=
(2n-1)·(++…+)=[(2-a1)+ (2-a2)+…+(2-an)]·(++…+)=[()2+ ()2…+()2]·[()2+ ()2+…+()2]≥(·+·+…+·)2=2n2 ∴(2n-1)·(++…+)≥2n2 ∴++…+≥+n=
,a2,…,ak,…为互不相同的正整数,
(1+++…+)·(++…+)≥(++…+)·(++…+)≥(·+·+…+·)2=(+++…+)2
求证:对任何正整数n,不等式++…+≥+++…+成立.
,b,c为正实数,且满足abc=1,
求证:+ + ≥
+ +=++
2(ab+bc+ca)·(++)=[(ab+ac)+(ba+bc)+(ca+cb)]·(++)≥(·+·+·)2=(ab+bc+ca)2
∴++≥(ab+bc+ca)≥=
,b,c,d是满足ab+bc+cd+da=1的正实数,
求证:+ + + ≥
(a2+b2+c2+d2)2=(λ1·+λ2·+λ3·+λ4·)2≤(λ12+λ22+λ32+