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锐角三角函数的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮--第1页
专题 20 锐角三角函数的核心知识点精讲
，能熟练应用sinA，cosA，tanA表示直角三角
形中两边的比，熟记特殊角30°，45°，60°的三角函数值；
，会运用勾股定理，锐角三角函数的有关知识来解某些简
单的实际问题，从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识；
。
考点1：锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC 记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻
边，∠B 所对的边 AC 记为 b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C 所对的边 AB 记为 c，叫做斜边．
B
c
a
A C
b
A的对边 a
锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA ；
斜边 c
A的邻边 b
锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos A ；
斜边 c
A的对边 a
锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA .
A的邻边 b
B的对边 b B的邻边 a B的对边 b
同理 sinB ； cosB ； tanB ．
斜边 c 斜边 c B的邻边 a
考点2：特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45° 1
60°
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考点3：解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5 个元素，即三条边和两个锐角.
设在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
， ， ，
， ， .
④ ，h为斜边上的高.
注意：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
考点4：解直角三角形的应用
（1）坡度坡角
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h 和水平距离 的比叫做坡度，用字母表示，则 ，如图，坡
度通常写成 = ∶ 的形式.
（2）仰角俯角问题
仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如
图.
（3）方位角问题
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向 PA，PB，
PC 的方位角分别为是 40°，135°，245°.
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(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向
线 OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东
南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东 45°，西南方向指的是南偏西 45°，西北方向指的是北
偏西 45°.
【题型1：锐角三角函数的概念】
【典例 1】（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在
OB 上，OC ：BC ＝1：2，连接AC ，过点O 作 OP ∥AB 交 AC 的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OA
P 的值是（ ）
A ． B ． C ． D ．3
【答案】C
【解答】解：如图，过点P 作 PQ ⊥x 轴于点Q ，
∵OP ∥AB ，
∴△OCP ∽△BCA ，
∴CP ：AC ＝OC ：BC ＝1：2，
∵∠AOC ＝∠AQP＝90°，
∴CO ∥PQ ，
∴OQ ：AO ＝CP ：AC ＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ ＝OQ ＝1，
∴AO ＝2，
∴tan∠OAP ＝ ＝ ＝ ．
故选：C ．
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【变式 1-1】（2021•云南）在△ABC 中，∠ABC ＝90°．若AC ＝100，sinA＝ ，则 AB 的长是（ ）
A ． B ． C ．60 D ．80
【答案】D
【解答】解：在直角三角ABC 中，
∵AC ＝100，sinA＝ ，
∴BC ＝60，
∴AB ＝ ＝80，
故选：D ．
【变式1-2】（2023•陕西）如图，在6×7 的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C 都在格点
上，则sinB 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【解答】解：连接AD ，则∠ADB ＝90°，
∵AD ＝ ＝2 ，AB ＝ ＝ ，
∴sinB＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
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【变式 1-3】（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，将△BCD 沿 BD 折叠到△BED 位
置，DE 交 AB 于点 F，则 cos∠ADF 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A＝90°，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝3，AB ＝CD ＝5，
∴∠BDC ＝∠DBF，
由折叠的性质可得∠BDC ＝∠BDF ，
∴∠BDF ＝∠DBF，
∴BF ＝DF ，
设 BF ＝x，则 DF ＝x，AF ＝5﹣x，
在 Rt△ADF 中，32+（5﹣x）2＝x2，
∴x＝ ，
∴cos∠ADF ＝ ，
故选：C ．
【题型2：特殊角的三角函数】
【典例 2】（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A ．2 B ．1 C ． D ．
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【答案】B
【解答】解：tan45°的值等于 1，
故选：B．
【变式 2-1】（2022•广东）sin30°＝ ．
【答案】 ．
【解答】解：sin30°＝ ．
故答案为： ．
【变式 2-2】（2022•荆门）计算： +cos60°﹣（﹣2022）0＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解： +cos60°﹣（﹣2022）0
＝﹣ + ﹣1
＝0﹣1
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【变式 2-3】（2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（ ）0﹣2tan45°．
【答案】0．
【解答】解：原式＝1+2﹣1﹣2×1
＝1+2﹣1﹣2
＝0．
【题型3：解直角三角形】
【典例 3】（2023•常州）如图，在 Rt△ABC 中，∠ A＝90°，点 D 在边 AB 上，连接 CD ．若 BD ＝CD ，
＝ ，则 tanB＝ ．
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【答案】 ．
【解答】解：设AD ＝t，
∵BD ＝CD ， ＝ ，
∴BD ＝CD ＝3t，
∴AC ＝ ＝2 t，AB ＝AD +BD ＝4t，
∴tanB＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【变式3-1】（2023•牡丹江）如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O 与尺下沿
的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2cm，°
的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为 （2 +2） cm．
【答案】（2 +2）．
【解答】解：∵∠AOB ＝45°，∠AOC ＝°，
∴∠BOC ＝∠AOC ，
∵BC ∥OA ，
∴∠BCO ＝∠AOC ，
∴∠BCO ＝∠BOC ，
∴BC ＝OB ，
∵△ODB 是等腰直角三角形，
∴OB ＝ BD ＝2 cm，
∴CD ＝BC +BD ＝（2 +2）cm．
∴OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为（2 +2）cm．
故答案为：（2 +2）．
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【变式 3-2】（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点
A、B、C 三点都在格点上，则sin∠ABC ＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接AC ，
由勾股定理得：AB 2＝22+42＝20，BC 2＝12+32＝10，AC 2＝12+32＝10，
则 BC 2+AC 2＝AB 2，
∴∠ACB ＝90°，
∴sin∠ABC ＝ ＝ ＝ ，