文档介绍：开幕式《黄埔一期》
上午
①一切为了将来;
②年龄就是资本;
③研讨。
①系统地学****数论(带余除法、一次方程的整数解、小费尔马定理等,由潘振标教授讲解);
②全面地了解世界(比如了解保加利亚2003年试题等,详见试题);
③精僻点评试题的优劣、命题人、与IMO接轨等;
④追求理性的成熟;
⑤试题的解答与讨论。
①学校简介;
②纪律要求(学员手册);
③吃饭时间(学员手册);
④上课时间(作息时间);
⑤其他.
3月8日(裘宗沪老师)
数学竞赛的发展以健康为主旋律
①民办公助;
②精简节约;
③自愿参加。
。
普及与提高;
中学与大学结合(*);1,2,4,5题基本不丢分;
第六人第一;
强项(数论)不丢.
1991年加强代数;
1996年大学内容少一点;
2001年组合不必太多;
2003年与国际竞赛接轨.
题意理解
0
1
2
3
*
计算难度
0
1
2
3
*
总体难度为7
思考难度
0
1
2
3
4
5
*
①改革、扩军(不超过200人);
②协作体目的:了解中学、加强各中学之间的联系;
③向国际数学强国学****br/>苏俄 15次
中国 10次
匈牙利 6次
罗马利亚 5次
美国 4次
西德 2次
东德、捷克、伊朗、保加利亚各1次(特意提到保加利亚)
金牌
银牌
铜牌
75
22
5
3月9日
上午
裘宗沪老师点评IMO
1.(荷兰)如图,.
求证:.
证法一:
设AR=BR=x,BP=y,AQ=z,由正弦定理可得PC=y,CQ=z.
在△ABR,△BPC, △ACQ中,应用余弦定理得BC2=(2+)y2, AB2=(2+)x2, AC2=(2+)z2。
,,
设∠ABC=B,∠ACB=C,∠BAC=A,在△ABC中应用余弦定理得:
同理
要证PR2=RQ2,需证zsinA=ysinB
∵,即∴,zsinA=ysinB
∴ PR2=RQ2,∴ PR=RQ
要证PR2+RQ2=PQ2,需证 xysinB+xzsinA=2yzsinC
∵,∴, 将他代入上式可证得。
证法二:
、最难的组合题以及最漂亮的组合题
(1)设S={1,2,3,…,1978},把S分成6个互不相交的集合,即
.
求证:在某一中,一个元素是其他两个元素的和,或者是某一元素的2倍.
(2)()21个男孩和21个女孩参加一次数学竞赛:
(i)每一个参赛都至多解出了6道题;
(ii)对于每一个女孩和每一个男孩,至少有一道题被这一对孩子都解出.
证明:有一道题,至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出.
略证:G是参加比赛的女生集合,B是参加比赛的男生集合,P为题目集合,P(g)是被解出来的题目集合,P(b)是被解出来的题目集合,G(P)是解出
的女生集合,B(p)是解除出p的男生集合。依题意,对任意gG,bB,有:(i)|P(g)≤6|,|P(b)|≤6;
(ii)P(g)P(b).
为了证明存在pP满足|G(P)|≥3,|B(p)|≥3,我们假设对任意pP,有|G(p)|≤2或|B(p)| ≤|G(p)|≤2 ,则将p染成红色,否则将其染成黑色,考虑一个21的棋盘,每一行代表一个女生,每一列代表一个男生,对gG,bB,对相应的方格(g,b)进行染色,任选pP(g) P(b),将p的颜色涂在(g,b)内,由条件(ii)知,这样的涂法是存在的,由抽届原理知至少有一种颜色涂了不少于个方格,存在一行至少有11个黑色格或存在一列至少有11个红格.
假设gG所在行至少有11个黑色格,对这11个黑色格中的每一个所代表的题目,最多被2个男生解出,于是至少有道不同的题目被g解出,由条件(i)知g仅解出这6道题,这样最多有12个男生解的题也被g解出,与条件(ii)矛盾.
同理,若存在一列至少有11个红格也可推出矛盾,因此,必存在pP,满足|G(p)| ≥3,|B(p)| ≥3.
(3)
3月9日
裘宗沪老师点评IMO
下午(阴影部分题为集体研讨题目)
,AP是BC边上的高,O是外心,若.
求证:(第42届IMO试题).
分析:
、B两点,过A作直线与两圆分别交于C和D,若弧CB和弧DB(这两弧不含A)中点分别是M和N,线段CD中点是K,求证:(2000年伊朗数学奥林匹克).
,角C的平分线交AB于L,从