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请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．分式有意义，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．现有两根木棒长度分别是厘米和厘米，若再从下列木棒中选出一根与这两根组成一个三角形（根木棒首尾依次相接），应选的木棒长度为（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
3．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的大小为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．40°
4．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
6．解分式方程时，去分母后变形为
A． B．
C． D．
7．如图，在等边中，，过边上一点作于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，则的长为（ ）．
A．2 B． C．3 D．
8．如图，已知数轴上的五点，，，，分别表示数，，，，，则表示的点应落在线段( )
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
9．如图，设点P到原点O的距离为p，将x轴的正半轴绕O点逆时针旋转与OP重合，记旋转角为，规定[p，]表示点P的极坐标，若某点的极坐标为[2，135°]，则该点的平面坐标为（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
10．如图，，，，则度数是( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．观察下列图形的排列规律（其中△，○，☆，□分别表示三角形，圆，五角星，正方形）：□○△☆□○△☆□○……，则第2019个图形是________．（填图形名称）
12．如图，A．B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有______个．
13．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。这样做的依据是_______.
14．如图，，，垂足分别为，，添加一个条件____，可得．
15．如果关于的方程有增根，则_______________.
16．=_________;
17．如果a+b=5，ab=﹣3，那么a2+b2的值是_____．
18．计算的结果是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在四边形中，，为的中点，连接，且平分，延长交的延长线于点.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：是的平分线；
（4）探究和的面积间的数量关系，并写出探究过程.
20．（6分）已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别交于点、两点，与正比例函数交于点．
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
（2）若点为直线上的一个动点（点不与点重合），点在一次函数的图象上，轴，当时，求点的坐标．
22．（8分）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
23．（8分）（1）解不等式．
（2）解不等式组．
24．（8分）
25．（10分）如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出关于轴对称的，并写出的坐标；
（2）在轴上求作一点，使的周长最小，并直接写出点的坐标．
26．（10分）如图，△ABC中，CE、AD分别垂直平分AB、BC，求△ABC各内角的大小．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据分式有意义的条件，即可得到答案.
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴；
故选：B.
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不等于0时，分式有意义.
2、B
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．求出第三边的范围就可以求解．
【详解】应选取的木棒的长的范围是：，
即．
满足条件的只有B．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
3、C
【分析】根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．
【详解】解：设∠B=x
∵AC=DC=DB
∴∠CAD=∠CDA=2x
∴∠ACB=180°-2x -x=105°
解得x=25°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180°．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
4、B
【分析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可．
【详解】解：
∴方程表达为：
解得：，
经检验，是原方程的解，
故选：B．
【点睛】
本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，解题的关键是理解题中给出的新运算法则及分式方程的解法．
5、D
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，可得答案．
【详解】解：选项A：；
选项B：；
选项C：；
选项D:∵2x2+1＞1，∴不论字母取何值都有意义．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是分式有意义的条件，通过举反例也可排除不正确的选项．
6、D
【解析】试题分析：方程，两边都乘以x-1去分母后得：2-（x+2）=3（x-1），故选D.
考点：解分式方程的步骤.
7、C
【分析】过点D作DG∥BC交AC于点，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：过点D作DG∥BC交AC于点G，
∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∠FDG=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADG=∠AGD=60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴AG=AD，DH⊥AC，
∴AH=HG=AG，
∵AD=CE，
∴DG=CE，
在△DFG与△EFC中
∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴GF=FC=GC
∴HF=HG+GF=AG+GC=AC=3，
故选C．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8、A
【分析】先求出的取值范围，从而求出-1的取值范围，继而求出的取值范围，然后根据数轴即可得出结论．
【详解】解：∵2＜＜3
∴2-1＜-1＜3-1
即1＜-1＜2
∴1＜＜2
由数轴可知表示的点应落在线段上．
故选A．
【点睛】
此题考查的是实数的比较大小，掌握实数比较大小的方法是解决此题的关键．
9、B
【分析】根据题意可得，，过点P作PA⊥x轴于点A，进而可得∠POA=45°，△POA为等腰直角三角形，进而根据等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：由题意可得：，，过点P作PA⊥x轴于点A，如图所示：
∴∠PAO=90°，∠POA=45°，
∴△POA为等腰直角三角形，
∴PA=AO，
∴在Rt△PAO中，，即，
∴AP=AO=2，
∴点，
故选B．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系点的坐标、勾股定理及旋转的性质，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标、勾股定理及旋转的性质是解题的关键．
10、C
【分析】延长BC交AD于点E，根据三角形外角的性质可求得∠BED=110°，再根据三角形外角的性质得∠BCD=∠BED+∠D，从而可求得∠D的度数．
【详解】延长BC交AD于点E，如图所示，
∵∠BED=∠B+∠A，且，，
∴∠BED=80°+30°=110°，
又∵∠BCD=∠BED+∠D，
∴∠D=∠BCD-∠BED=130°-110°=20°．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、三角形
【分析】根据图形的变化规律：每四个图形为一组，按照正方形、圆、三角形、五角星的顺序循环变化即可求解．
【详解】观察图形的变化可知：
每四个图形为一组，按照正方形、圆、三角形、五角星的顺序循环变化，
2019÷4＝504…3
所以第2019个图形是三角形．
故答案为：三角形．
【点睛】
本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
12、9
【解析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．
解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；
②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．
所以符合条件的点C共有9个．
此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．
13、SSS证明△COM≌△CON，全等三角形对应角相等