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第六章二次型
一、单项选择题
n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是()。
(a)|A| 0(b)存在阶阵C,使A CtC
(c)负惯性指数为零 (d)各阶顺序主子式为正
设A为n阶方阵，则下列结论正确的是()。
A必与一对角阵合同
若A的所有顺序主子式为正，则正定
若A与正定阵B合同，则A正定
若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同
，则下列结论不正确的是()。
(a)A可逆(b) Ai正定
(c)A的所有元素为正(d)任给X(x,x, , x )t0,均有X t AX 0
(
)。
12n
(b) A 1是正定阵；
(d) A At是正定阵。
(a)A的各阶顺序主子式为正；
(c)A的所有特征值均大于零；
5.
下列f(x,y,z)为二次型的是(
(a) ax2 by2 cz2
(c) axy byz cxz dxyz
)。
(b)
(d)
ax
ax2
by2
bxy
cz
czx2
6. 设A、B为n阶方阵，X (x ,
1 条件是()。
(a) r (A) r(B)
(c) BtB
x2,
b).
(d)
,x )t n
At
At
，且X
A
A ,
tAX XtBX则A=B的充要
Bt B ,
7. 正定二次型f(x,x,x,x)的矩阵为入，则()必成立.
1234
(a) A的所有顺序主子式为非负数
b) A的所有特征值为非负数
(c) A的所有顺序主子式大于零
(d) A的所有特征值互不相同
, B为n阶矩阵，若() (a).存在n阶可逆矩阵P,Q且PAQ
则A与B合同.
b)
存在n阶可逆矩阵P
，且 P 1AP
(c)
存在n阶正交矩阵Q
，且Q 1AQ
存在n阶方阵C,T ,
且 CAT B
(d)
，不是二次型矩阵的为
..
0
(a). 0
0
(b)
3
(c) 0
2
(d)
(a) 2 3
3 4
b) 3 4
2 6
(c)
(d)
-1, 3; (c)2,
(a)3, i, -1;
b)2,
那么A的特征值可能是( )
i, 4; (d)1, 3,4
二、填空题
二次型 f(x,x,x,)
123
二次型 f(x,x) x2x
121 2
2
6x x
1 2
2x x
2
x2的秩为
33-
3x2的矩阵为
2-
104
设A220,则二次型f XtAX的矩阵为。
3
若f(x,x,x) 2x2 X2 X2 2x x txx正定，则t的取值范围是。
1231231 22 3
5 .设A为n阶负定矩阵，则对任何X (x, x , , x)T0均有
12n
X T ax 。
。
1
1
0
1
a
0是正定矩阵，则a满足条件.
0
0
a2
设实二次型f(x,x,x) x2 2x x 2x2 ax2则当a的取值为 时,
12311 223—
二次型f (x , x , x )是正定的。 123
二次型f(x,x) xx的负惯性指数是。
121 2
13 x
二次型(x,x) ^1的矩阵为 。
1212 x2
三、计算题
求一个非退化的线性变换，将下列二次型化为标准型。
1 ) f(x,x,x)x22x x2x x2x24x xx2
12311 21 322 33
2 ) f(x ,x ,x )
2x x
4xx
2x2
2x x
123
12
13
2
23
2 1 1
0 1
1
A 1 0 1
,B
1 2
1 ,
求非奇异矩阵C,使A CtBC。
1 1 0
1 1
0
(x,
x ,x )
xx
xx为标准形，并写出相应的满秩线性
1231 21 3
变换
,使P1AP为对角阵.
四、证明题
1.
已知二次型f (x , x , x ) xt Ax在正交变换x
1 2 3
Qy下的标准形为y《
y;
且Q的第3列为#,0
(I )求矩阵A ; ( II)证明A
设A、B为同阶正定矩阵，，
E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.
0,求证A B也是正定矩阵。
, B是同阶正定矩阵，试证A +B也是正定矩阵。
第六章参考答案
单项选择题
1.
(d)
2.
(c)
3.
(c)
4.
(b)
5.
(a)
6.
(d) 7.
(c) 8. (c)
9.
(d)
10.
(c)
11.
(d)
填空题
1.
2.
3.
4.
5.
0
6.
合同
7.
a
8.
a
9.
1
10.
1
1
0
2
2
、计算题
1.
x
1
y
1
y
2
1)
x
y
y
2
2
3
x
y
3
3
x
y
y
1
1
2
2)
x
y
y
2
1
2
x
y
3
3
0
1
0
1
0
0
,
0
0
1
x
y
1
1
解：
令
x
y
2
1
x
y
y
3
2.
3.
即
y
2
3
3
2y3
4.
四、
1.
则:
f(X
1
W
1
令w2
W
3
即X
证明题
,泌)
+ y
2 2
+ y
2 2
使f（X
rx2
-IV V )2
2
3
1
+
1
2
即Y
0
1
1 W
0
0
1
：）
W 2
+ W 2
3
1
4
2
1
1
3
2
1
1
1
2
2
3
4
+ y)2
2 3
十 y
2 3
解：由题意A
的特征值为
J2 J2丁
1,1,0且r_, 0^- 为特征值0的特征血量
所以
的特征向量若为（X , X , X
12
亚X立
~T 1
解方程即得Q
的前2列为
0, 1, 0T ,
0
Q
0
1
0
1 0 0+
方
0
0
4-
A Q 0 1 0 Qt0
1
2
0
0 0 0+
2
0
4-
2