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建模与求解
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建摸
1、理论依据
-----最优化原理
最优化原理：
一个过程的最优策略具有这样的性质，即无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策必构成最优策略
阶段数k
1
状态变量sk
2
决策变量uk （ sk ）
3
指标函数Vk,n
4
状态转移方程
5
最优值函数fk(sk)
6
动态规划模型的几个要素：
所研究的问题必须能够分成几个相互联系的阶段，而且在每一个阶段都具有需要进行决策的问题。
在每一阶段都必须有若干个与该阶段相关的状态
一般情况下，状态是所研究系统在该阶段可能处
于的情况或条件
建模时总是从与决策有关的条件中，或是从问题的约束条件中去选择状态变量。
建立动态规划模型的基本要求：
3)具有明确的指标函数，且阶段指标值可以计算
4)能正确列出最优值函数的递推公式和边界条件
（b）能通过现阶段的决策，使当前状态转移
成下一阶段的状态
即 能够给出状态转移方程
（c）状态的无后效性
状态的选取必须注意以下几个要点：
（a）在所研究问题的各阶段，都能直接或间
接确定状态变量的取值
例 （资源分配问题）
某公司有资金a万元，拟投资于n个项目，已知对第i个项目投资xi万元，收益为
g i (xi)，问应如何分配资金可使总收益最大？
解：阶段k=1,2, …,n
状态变量sk
决策变量uk
：第k个项目的投资额
：在第k阶段时可以用于投资
第k到第n个项目的资金数
状态转移方程：
sk+1 = sk -uk
指标函数Vk,n
：第k阶段可分配的资金数为sk时，
第k至第n个项目的最大总收益
边界条件：
k=n,n-1, …,2,1
资源分配问题的动态规划基本方程：
01
建立递推公式：
：在第k阶段分配的资金数为sk时，
第k至第n个项目的最大总收益
02
例 复合系统工作可靠性问题
某种机器的工作系统由n个部件串联组成，只要有一个部件失灵，整个系统就不能正常工作。为提高系统工作的可靠性，在每一个部件上均装有主要元件的备用件，并设计了备用元件自动投入装置。显然，备用元件越多，整个系统的可靠性越大，但备用元件增多也会导致系统的成本、重量相应增大。设部件i(i=1,2, …,n)上装有xi个备用元件时，正常工作的概率为pi （ xi ）。设装一个i部件的设备元件费用为ci ，重量wi为，要求整个系统所装备用元件的总费用不超过C，总重量不超过W，问如何选择个部件的备用元件数，使整个系统的工作可靠性最大？
解：设A---整个系统正常工作，Ai—部件i正常工作
满足：
非线性规划问题
例 复合系统工作可靠性问题
系统由n个部件串联组成，每一个部件上装有备用件，部件i(i=1,2, …,n)上装有xi个备用元件时，正常工作的概率为pi （ xi ）。设装一个i部件的设备元件费用为ci ，重量wi为，要求总费用不超过C，总重量不超过W，问如何选择个部件的备用元件数，使整个系统的工作可靠性最大？
解： n个部件=n个阶段
决策变量uk =
部件k上所装的备用元件数xk
状态变量：
sk
=第k个到第n个部件可使用的总费用
yk
=第k个到第n个部件容许的总重量
状态转移方程：
指标函数Vk,n