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线性方程组
迭代解法
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第四章目录
§1 向量序列与矩阵序列极限
§2 Jacobi迭代法
§3 Gauss~Seidel迭代法
§4 松驰法
§5 迭代法收敛条件及误差预计
矩阵谱半径
迭代法收敛条件
误差预计
§6 非线性方程组迭代法
Newton法
最速下降法
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第四章 方程组迭代解法概述
这一章讨论线性方程组另一类解法——迭代法，因为迭代法能充分防止系数矩阵中零元存贮与计算，所以尤其适合用于求解系数矩阵阶数很高而零元素又很多（即大型稀疏）线性方程组。
解线性方程组迭代法基本思想与解方程迭代法相同，首先将方程组Ax = b化为等价方程组x = Mx + g，其中M为n 阶方阵，b = (b1,b2,…,bn)T，g Rn，任取初始向量x(0) Rn，代入迭代公式：
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迭代解法概述(续）
产生向量序列{x(k)}，若此序列收敛于x*，则有x* = Mx*+g，即x*为原方程组解。所以，可依据精度要求选择一个适当x(k)（k充分大时）作为近似解，这就是解线性方程组迭代法， 上式称为迭代格式，M 称为迭代矩阵，若序列{x(k)}极限存在，称此迭代过程收敛，不然称为发散。
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§1 向量序列与矩阵序列极限
与求解方程类似，需要讨论问题是：怎样建
立迭代公式，向量序列收敛条件是什么，若向量
序列{x(k)}收敛，怎样进行误差预计？
§1 向量序列与矩阵序列极限
因为Rn中向量可与Rn点建立一一对应关系，
所以由点列收敛概念及向量范数等价性，可得
到向量序列收敛概念。
定义1
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向量序列与矩阵序列极限（续）
n维点列收敛一个等价描述是其对应坐标序列均
收敛，向量序列也有类似结论。
定理1
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矩阵序列收敛概念及定理
定义2
完全类似地，能够定义矩阵序列收敛：
与向量序列类似，也有：
定理2
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§2 雅可比（Jacobi）迭代法
设有n阶线性方程组：
简记为：
其系数矩阵A非奇异，不妨设aii≠ 0 (1,2,…,n)可将上式
改写为等价方程组：
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雅可比（Jacobi）迭代法（续）
也可写作为：
可简记为：
由此可建立迭代格式：
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Jacobi迭代法定义
选取初始向量x(0)代入（4-4）右端，可得x(1) = Bx(0) + g，
再将x (1)代入（4-4）右端，可得x(2) = Bx(1) + g，如此继续下去，
就产生一个向量序列{x(k)}，按（4-2）或（4-3）格式迭代求解
方法称为雅可比（Jacobi）迭代法，又叫简单迭代法。
迭代式（3-4）中B 称为迭代矩阵，它可直接由（4-2）
或（4-3）得到，也可用系数矩阵A来表示：
若将系数矩阵A分解为A = D–L–U，其中：
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