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一. 空间曲线的切线和法平面
切线
当M 沿曲线L趋向于 时,割线
的极限位置
M
T
法平面
过 而垂直于切线 的平面
导数不全为零
即
切向量
切线方程
法平面方程
将x视为参数,
切线方程
法平面方程
因为它确定隐函数 y = y(x), z = z(x),所以利用隐函数微分法及情形2即可解决.
例1 求曲线 在点(1,1,1)处的切线和法平面.
法平面方程
切线方程
例2 求曲线
在点(1,1,1)处的切线和法平面.
方程两边对x求导:
在(1,1,1)点解得:
法平面方程
切线方程
若曲面 上过点 的任意曲线的切线都位于同一平面.
切平面
过 且与切平面垂直的直线
法线
在该点偏导数连续且不全为零.
是曲面上过 的任一曲线:
因为
两边对t求导
切平面
法线
设 当作第一种情形计算.
切平面的法向量
例4. 在哪一点处的法线垂直于 .
例3. 求 在点(2,1,4)处的切平面和法线.
在点(2,1,4):
切平面方程
法线方程
练习
定义:
设z=f(x,y)在点 的某邻域内有定义,如果在该邻
域内
则称z=f(x,y)在点 有极大值 ;
反之,为极小值.
极值
极值点
例如:
极大值 f (0,0)=1.
极小值 f (0,0)=0;
定理1(极值必要条件)
设z=f(x,y)在点 具有偏导数且有极值,则
驻点
注:(1).由偏导数及一元函数极值易证;
(2).
(3).驻点不一定是极值点.
例如: (0,0)是函数 z = x y的驻点,
但 f (0,0)既不是极大值也不是极小值.