三次参数样条曲线.ppt

文档介绍：三次参数样条曲线
问题提出
有空间的n个点,p1,p2, p3,……,pn
要用一条曲线光滑连接
p1
p2
p3
pn
p4
解决问题的思路
插值
三次样条曲线
三次参数样条曲线
三次样条曲线-定义
对于给定的n个型值点Pi(xi,yi),且hi=xi+1-xi>0, i=1,2,…,n,若y=S(x)满足下列条件:
(1) 在Pi(xi,yi)点上有yi=S(xi);
(2) S(x)在[x1 , xn]上二阶连续可导;
(3)在每个子区间[xi , xi+1]上,S(x)是x的三次多项式;
则称S(x)为过型值点的三次样条函数,由三次样条函数构成的曲线称为三次样条曲线。
三次样函数的形式推导
由定义可知在[xi , xi+1]上,Si(x)可写成:
Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3
ai, bi, ci, di为待定系数
(1)由于yi=Si(xi), Si(xi+1)= Si+1(xi+1)= yi+1,
有 yi = ai
ai+bihi+cihi2+dihi3= yi+1(用于求bi)
(2)由Si' (x)= bi+2ci(x-xi)+3di(x-xi)2
有 Si' (xi)= bi
由Si" (x)= 2ci+6di(x-xi)
有 Si" (xi)= 2ci
三次样函数的形式推导
(3)要求曲线在二阶连续可导,则有
Si' (xi+1)= Si+1' (xi+1)
Si" (xi+1)= Si+1" (xi+1)
从而有 bi+2cihi+3di hi2= bi+1
2ci+6di hi=2ci+1 (求di)
(4)令Mi=2ci;
则有:
ai = yi
ci=Mi/2
di=( Mi+1- Mi)/6 hi
bi =( yi+1- yi)/ hi- hi(Mi/3+ Mi+1/6)
三次样函数的形式推导
从而有:
ai-1 = yi-1
ci-1=Mi-1/2
di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1
bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6)
(5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi)
有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi
令:λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi)
Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
可得:λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di,
其中:λi+μi=1,i=2,3,…,n-1
三次样函数的端点条件
(1)夹持端:
端点处一阶导数已知,即
S1' (x1)=y1'
亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6)
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
Sn-1' (xn)=yn'
亦即yn-1'= bn-1= ( yn- yn-1)/ hn-1- hn-1(Mn-1/3+ Mn/6)
Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1
得方程组为:
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1;
λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di,i=2,3,…,n-1;
Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1;
三次样函数的端点条件
(2)自由端:
端点处曲线二阶导数为零
即S1" (x1)=y1"=0 , Sn-1" (xn)=yn"=0
亦即 S1" (x1)= 2c1=0;=>M1=0
Sn-1" (xn)=2cn-1+6dn-1hn-1=0;=> Mn=0
得方程组:
M1=0;
λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di,i=2,3,…,n-1;
Mn=0;
三次样函数的端点条件
(3)抛物端:
曲线的首尾两段S1(x) 和Sn-1(x)为抛物线。即曲线在首尾两段曲线上二阶导数为常数。
y1" =y2" ,yn-1" =yn"
S1" (x1)=2c1= S2" (x2)= 2c2
=>M1= M2
Sn-2" (xn-1)=2cn-2+6dn-2hn-2= Sn-1" (xn)= 2cn-1+6dn-1hn-1
=>Mn-1= Mn
得方程组:
M1 - M2=0;
λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di,i=2,3,…,n-1;
Mn-1 - Mn=0;