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-函数的弹性
这三类实际问题的现实原型在数学上都可以归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。
首先考虑当时间 变化到 时,质点这段时间走过的路程是
一、导数概念的引入
质点运动一般是变速运动还是匀速运动？怎样描绘或怎样刻画这样的运动？
用平均速度代替瞬时速度合适吗？怎样才合适呢?
设质点运动的路程为 s,且 s 是时间 t 的函数s = s (t)。
考虑在 时的瞬时速度时,
给时间 t 一个改变量 ，
t
当 很小时,平均速率 应与 时刻的速率非常接近.
由于质点速率的变化是连续的,当 时,如果极限
存在,这个极限就是在 时刻的瞬时速率,即
这段时间的平均速率为
平面几何中圆的切线的定义:与圆只有一个交点的直线。
推广到一般曲线上是不成立的.
。
在17世纪，为了设计光学透镜和了解行星的运动方向，必须知道曲线的切线。
一般曲线在某点切线的定义: 在曲线 L 上，点M 为曲线上一个定点， 在曲线上另取一个动点 ，作割线 。当动点 沿着曲线 L 移动而趋向于点 M 时,割线 的极限位置 MT 为曲线 L 在定点 M 处的切线。
如何定义曲线的切线呢?
根据定义, 求曲线切线的斜率.
0 x
y
T
y=f (x)
割线 的斜率
切线 MT 的斜率
割线的极限位置是切线. 割线斜率的极限就是切线的斜率.
设成本函数C是产量 q 的函数C=C(q)。
称为C(q)在点 处的变化率,在经济分析中称为在点处的边际成本值.
平均变化率
成本的变化率
若在产量 处产生一个改变量 ,那么成本函数的改变量 与产量的改变量 之比
上面三个例子考虑的问题都是:当自变量的改变量趋于零时,函数的改变量与自变量的改变量之比的极限.
二、导数的概念
定义 设函数y=f (x)在点 的邻域内有定义,当自变量x在点 处取得改变量 时,函数y取得相应的改变量
若当 时,两个改变量之比 的极限
存在,则称函数y= f (x)在点 处可导,并称此极限值为函数y=f(x)在点 处的导数,记为
即
由左、右极限的概念,可得左、右导数的定义.
左导数
右导数
函数f(x)在点 处可导的充要条件是在点 处左、右导数 都存在且相等.
比值 与导数 的区别？
函数在这段区间上的平均变化率.
函数在一点处的瞬时变化率—变化率.
否则称函数f(x)在点 处不可导。
思考题
函数y =f (x)在点 处的导数 是导函数 在点 处的函数值，即
则
如果函数 y =f (x) 在区间(a,b)内每一点都可导,则称函数y =f (x)在区间(a,b)内可导.
这时, 对于区间(a, b)内每一个x都有一个导数值 与之相对应. 那么 也是 x 的一个函数, 称其为函数 y =f (x)在区间(a, b)内的导函数, 简称为导数, 记为
函数y =f (x)在闭区间[a，b]上可导是指y =f (x)在(a,b)内处处可导,且在左端点a存在右导数,在右端点b存在左导数.
根据导数定义求导数,可归纳为三个步骤:
1. 当自变量x的改变量为 时,求函数y =f (x)的相应改变量 ,即
3. 求当 时 的极限,即