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一、罗尔定理与拉格朗日定理
那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点, 使
(i) 在闭区间 [a, b] 上连续;
(ii) 在开区间 (a, b) 上可导;
(iii) f(a) = f(b).
(1) 几何意义
据右图,
平的.
一点处的切线也是水
看出, 曲线上至少有
所以线段 AB 是水平
因为
点击上图动画演示
f (a) = f (b),
(2) 条件分析
定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不
在 [0, 1] 上满足条件 (ii) 和
一定成立.
数在 (0, 1) 上的导数恒为1.
(iii), 但条件 (i) 不满足,该函
满足条件 (i) 和 (iii), 但条件
条件 (i) 和 (ii),但条件 (iii)
满足
处不可导), 结论也不成立.
(ii) 却遭到破坏 ( f 在 x = 0
内的导数恒为1.
却遭到破坏,该函数在 (0, 1)
-1
O
1
2
1
2
3
4
条件都不满足, 却仍有
f (0)=0. 这说明罗尔定
理的三个条件是充分
条件, 而不是必要条件.
定理的证明
因为 f (x) 在 [a, b] 上连续,所以由连续函数的最大、
情形1 M = f (x) 恒为常数,它的导函数恒
f () = 0 .
小值 m .下面分两种情形加以讨论.
最小值定理,f (x) 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和最
等于零,此时可在 (a, b) 内随意取一点 , 就有
情形2 m < M. 既然最大、最小值不等,从而最大
因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以
使得
大值不在端点取到,故存在
由费马定理,得
这与条件矛盾.
例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p'(x) = 0 没有实
证
重数为 1 .
根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根，且这个根的
矛盾.
设函数 f (x) 满足：
(拉格朗日中值定理)
(i) f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续;
(ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导.
那么在开区间 内 ( 至少 ) 存在一点 , 使得