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一、选择题
1.(2021吉林长春外国语学校高二上期中,)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是 ()
A.-12,12B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]
2.(2021重庆八中高二上期中,)若点O和点F分别为双曲线x22-y2=1的中心和左焦点,点P为该双曲线上的任意一点,则OP·FP的最小值为 ()
+6 - D.-32
3.(2021浙江诸暨中学高二月考,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1、F2为其左、右焦点,若椭圆上存在点P满足|PF1|=2|PF2|,则该椭圆的离心率的范围是()
,13 ,,13 ,1
4.(2021天津耀华中学高二上期中,)已知F1、F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,|F1F2|=4,点Q(2,2)在椭圆C上,P是椭圆C上的动点,则PQ·PF1的最大值为 ()
+2
5.(2021天津六校高二上期中,)M是抛物线y2=4x上一点,N是圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-1=0的对称圆上的一点,则|MN|的最小值是 ()
-1 --1
二、填空题
6.(2021上海复旦大学附属中学高二上期中,)在直角坐标平面内的△ABC中,A(-2,0)、C(2,0),若sinA+sinC=2sinB,则△ABC面积的最大值为. 
7.(2021江西上高二中高二上月考,)已知A(0,1)为椭圆x2+4y2=4上一定点,点P为椭圆上异于A的一动点,则|AP|的最大值为. 
8.(2021北京首都师范大学附中高二上期中,)设F1为椭圆C:x22+y2=1的左焦点,P为椭圆C上给定一点,以PF1为直径作圆Γ,点Q为圆Γ上的动点,则坐标原点O到Q的距离的最大值为. 
三、解答题
9.(2020天津和平高二上期末,)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点1,32,一个焦点为(3,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=k(x-1)(k≠0)与x轴交于点P,与椭圆C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q,求|AB||PQ|的取值范围.
10.()某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖,如图所示,AB=4(单位:十米,以下同),O为AB的中点,椭圆的焦点P在对称轴OD上,M,N在椭圆上,MN平行AB交OD于G,且G在P的右侧,△MNP为灯光区,用于美化环境.
(1)若椭圆的离心率为55,且PG=1,求△MNP的面积;
(2)若学校的另一条道路EF满足OE=3,tan∠OEF=2,为确保道路安全,要求椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于55,+y2b2=1(a>b>0)的面积为πab
11.(2021湖南永州第一中学高二上第一次月考,)已知P(2,0)为椭圆C:（a＞b＞0）的右顶点，点M在椭圆C于A,B两点，当点M与坐标原点O重合时，直线PA，PB的斜率之积为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若AM=2MB,求△OAB面积的最大值.
答案全解全析
一、选择题
∵y2=8x,∴Q(-2,0),
设过Q点的直线l方程为y=k(x+2).
∵l与抛物线有公共点,
∴方程组y2=8x,y=k(x+2)有解,
即k2x2+(4k2-8)x+4k2=0有解,
∴Δ=(4k2-8)2-16k4≥0,即k2≤1.
∴-1≤k≤1,故选C.
,点O(0,0),点F(-3,0),
设点P(x,y),则x22-y2=1,y2=x22-1,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),
所以OP=(x,y),FP=(x+3,y),
所以OP·FP=x(x+3)+y2=x2+3x+x22-1=32x+332-32,
所以当x=-2时,OP·FP取得最小值,为32×-2+332-32=2-6.
故选B.
,|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,∴2a=3|PF2|,
∴23a=|PF2|,从而a-c≤23a≤a+c,解得e=ca≥13,又e<1,∴13≤e<1,故选D.
,c=2,4a2+2b2=1,a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,
所以椭圆的方程为x28+y24=1,
可得F1(-2,0),设P(x,y),则x28+y24=1,所以可得x2=8-2y2,
则PQ·PF1=(2-x,2-y)·(-2-x,-y)=x2-4+y2-2y=-y2-2y+4=-y+222+92,当且仅当y=-22∈[-2,2]时,PQ·PF1取得最大值,为92,故选B.
:(x-1)2+(y-2)2=1,则圆心为C(1,2),半径为1,
易知点C关于直线x-y-1=0的对称点为C'(3,0),
则|MN|≥|C'M|-|C'N|=|C'M|-1,
设M的坐标为(x,y),由于M在y2=4x上,
∴|C'M|=(x-3)2+y2=x2-2x+9=(x-1)2+8≥22,
∴|MN|的最小值为22-.
二、填空题
解析因为sinA+sinC=2sinB,|AC|=4,所以|BC|+|AB|=2|AC|=8>|AC|,
所以点B的轨迹是以A、C为左、右焦点,2a=8为长轴长的椭圆(除去长轴端点),
该椭圆焦距2c=4,所以b2=a2-c2=12,
所以点B的轨迹方程为x216+y212=1(y≠0),
当x=0时,y=±23,
所以△ABC面积的最大值为12×4×23=43.
解析椭圆方程可化为x24+y2=1.
由点P在椭圆上,设P(2cosθ,sinθ),
又A(0,1),
∴|PA|2=4cos2θ+(sinθ-1)2=-3sin2θ-2sinθ+5=-3sinθ+132+163.
又-1≤sinθ≤1,
∴当sinθ=-13时,|PA|2取得最大值163,
因此,|PA|max=163=433.
解析设PF1的中点为M,椭圆的右焦点为F2,连接OM,PF2,QM,
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=22,
由OM为△PF1F2的中位线,可得|OM|=12|PF2|,
又|QM|=12|PF1|,
∴|OQ|≤|OM|+|MQ|=12|PF1|+12|PF2|=12×2a=a=2,
当且仅当O,M,Q三点共线时,|OQ|取得最大值,为2.
三、解答题
(1)由题意得a2-b2=3,1a2+34b2=1,
解得a=2,b=1.
所以椭圆C的方程是x24+y2=1.
(2)由y=k(x-1),x24+y2=1,得(1+4k2)x2-8k2x+4k2-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4k2-41+4k2,y1+y2=k(x1+x2-2)=-2k1++4k2,-k1+4k2,
所以线段AB的垂直平分线方程为y--k1+4k2=-1kx-4k21+4k2.
于是,线段AB的垂直平分线与x轴的交点为Q3k21+4k2,0,又点P(1,0),
所以|PQ|=1-3k21+4k2=1+k21+4k2.
又|AB|=
(1+k2)8k21+4k22-4×4k2-41+4k2=4(1+k2)(1+3k2)1+4k2,
于是,|AB||PQ|=4(1+k2)(1+3k2)1+4k21+k21+4k2
=41+3k21+k2=43-21+k2.
因为k≠0,所以1<3-21+k2<|AB||PQ|的取值范围为(4,43).
①半椭圆形状的小湖,AB=4(单位:十米),O为AB的中点;②椭圆的焦点P在对称轴OD上,M,N在椭圆上,MN平行AB交OD于G,且G在P的右侧;③椭圆的离心率为55,且PG=1,求△MNP的面积;④道路EF满足OE=3,tan∠OEF=2.
数学建模以半椭圆形状的小湖为背景,建立椭圆模型.
解析(1)以AB所在的直线为y轴,OD所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
由题意可知,b=2,e=ca=55,又a2=b2+c2,∴a=5,c=1,
∴椭圆方程为x25+y24=1,
易知xG=2,∴yM=255,则S△PMN=12×1×455=255(百平方米).
(2)由题意可知直线EF的方程为x+2y-6=0,
因为椭圆上任意一点到道路EF的距离都不小于55,
所以椭圆面积最大时与一条平行于x+2y-6=0且距离为55的直线相切,
设直线l:x+2y+m=0(m≠-6),由两条直线之间的距离为55,可得|m+6|5=55,
解得m=-5或m=-7(舍),
设椭圆方程为x2a2+y24=1(a>0),联立方程x2a2+y24=1,x+2y-5=0,
得(a2+16)x2-10a2x+9a2=0,
∵Δ=0,∴a2=9,a=3,
12×3×2×π=3π,
即半椭圆形状的小湖的最大面积为3π百平方米.
(1)∵P(2,0)为椭圆的右顶点,
∴a=2,∴椭圆方程为x24+y2b2=1.
当点M与坐标原点重合时,设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),
kPA·kPB=y12x12-4=-14.
又x124+y12b2=1,
∴y12=b2(4-x12)4,∴b2(4-x12)4x12-4=-14,
即-b24=-14,
∴b2=1.
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
(2)设直线AB的方程为x=ty+m(t≠0),-2≤m≤2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x=ty+m,x2+4y2=4,
得(4+t2)y2+2mty+m2-4=0,
则Δ>0恒成立,
∴y1+y2=-2mt4+t2,y1y2=m2-44+t2,
∵AM=2MB,∴y1=-2y2,
∴-y2=-2mt4+t2,-2y22=m2-44+t2,
∴m2=4t2+169t2+4.
∴△OAB的面积S=12|m(y1-y2)|
=32|my2|,
∴S2=94m2·y22=94×4t2+169t2+4×16t2(4+t2)(9t2+4)=9×16t2(9t2+4)2.
∴S=12|t|9t2+4=129|t|+4|t|≤1,当且仅当t2=49时取等号.
∴△OAB面积的最大值为1.