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第四部分 物理思维方法
估算类问题（提高篇）
1. （2020年6月北京西城模拟）电容器作为储能器件，在生产生活中有广泛的应用。实际中的电容器在外形结构上有多种不同的形式，但均可以用电容描述它的特性。
（1）在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质就组成一个最简单的电容器，叫做平行板电容器。图1为一平行板电容器的充电电路，在充电过程中两极板间电势差u随电荷量q的变化图像如图2所示。类比直线运动中由v-t图像求位移的方法，在图中画网格线表示当电荷量由Q1增加到Q2的过程中电容器增加的电势能。
u
q
图2
0
Q1
Q2
图1
C
R
E
S
（2）同平行板电容器一样，一个金属球和一个与它同心的金属球壳也可以组成一个电容器，叫做球形电容器。如图3所示，两极间为真空的球形电容器，其内球半径为R1，外球内半径为R2，电容为，其中k为静电力常量。请结合（1）中的方法推导该球形电容器充电后电荷量达到Q时所具有的电势能Ep的表达式。
R1
R2
图3
（3）孤立导体也能储存电荷，也具有电容。
a. 将孤立导体球看作另一极在无穷远的球形电容器，根据球形电容器电容的表达式推导半径为R的孤立导体球的电容的表达式；
b. 将带电金属小球用导线与大地相连，我们就会认为小球的电荷量减小为0。请结合题目信息及所学知识解释这一现象。
【名师解析】
u
q
答图2
0
Q1
Q2
（1）如答图2（3分）
（2）由电容的定义式可知球形电容器充电过程中两极板间电势差u随电荷量q的变化图像如答图3所示，图中三角形面积表示电荷量达到Q时电容器所具有的电势能Ep的大小
u
q
答图3
0
Q
由图可得
根据可得,
将球形电容器电容的表达式代入
推得（3分）
（3）a. 将孤立导体球看作另一极在无穷远的球形电容器，即
代入球形电容器电容的表达式推得（3分）
b. 根据a中推得的孤立导体球的电容表达式可知，球体的半径越大，其电容越大。由于金属小球的半径远小于地球半径，所以地球的电容远大于小球的电容。二者用导线连接，电势相同，根据Q=UC可知，地球的带电量远大于小球的带电量，电荷总量保持不变，所以可以认为小球的电荷量减小为0。（3分）
2．（10分）（2019北京通州期末）按图甲所示连接电路，当开关S闭合时，电源将使电容器两极板带上等量异种电荷，这一个过程叫做电容器充电。已知电容器的电容为C，电源电动势大小为E。
（1）求充电结束后电容器所带的电荷量Q。
（2）为了检验第（1）问结果是否正确，在图甲中用电流传感器观察到充电时，电路中电流随时间变化的i - t曲线如图乙所示，其中为已知量。类比是一种常用的研究方法，对于直线运动，我们学习了用v - t图像求位移的方法。请你借鉴此方法，估算充电结束后电容器所带的电荷量的大小。
乙
接计算机
甲
E
S
C
电流
传感器
（3）电容器在充电过程中，两极板间的电压u随所带电荷量q增多而增大，储存的能量增大。请在图丙中画出电容器充电过程中的u - q图像，并借助图像求出充电结束后电容器储存的能量E0。
q
O
u
丙
【名师解析】：本题考查电容器充电放电及其相关知识点。
（1）充电结束时，电容器两端电压等于电源的电动势，即：U = E （1分）
根据电容的定义：，
得： （2分）
（2）充电结束后电容器所带的电荷量等于i-t图线和横、纵轴所围的面积。
图乙中每一小格的面积为： （1分）
图线下约22小格，面积为：S = 21S0 （1分）
所以电容器所带的电量： （1分）
（说明：19 ~ 23格均给分）
（3）根据以上电容的定义可知：，画出u- q图像如答图6。 （2分）
由图像可知，稳定后电容器储存的能量E0为u- q图线与横轴之间的面积：，
代入得： （2分）
答图6
q
O
u
Q
E
3.(2008江苏物理)设想将1 g水均匀分布在地球表面上，估算1 cm2的表面上有多少个水分子?（已知1 mol水的质量为18 g，地球的表面积约为5×1014 m2，结果保留一位有效数字）
【名师解析】1 g水的分子数
1 cm2的分子数 （6×103～7×103）
6（2009江苏物理）图丙是北京奥运会期间安置在游泳池底部的照相机拍摄的一张照片，照相机的镜头竖直向上。照片中，水立方运动馆的景象呈现在半径r=11cm的圆型范围内，水面上的运动员手到脚的长度l=10cm，若已知水的折射率为，请根据运动员的实际身高估算该游泳池的水深，（结果保留两位有效数字）
【名师解析】设照片圆形区域的实际半径为,运动员的实际长为
折射定律
几何关系
得
取L=，解得h=，（~）
4（2008北京理综第3题）风能将成为21世纪大规模开发的一种可再生清洁能源。风力发电机是将风能（气流的功能）转化为电能的装置，
其主要部件包括风轮机、齿轮箱，发电机等。如图所示。
（1）利用总电阻的线路向外输送风力发电机产生的电能。输送功率，输电电压，求异线上损失的功率与输送功率的比值;
（2）风轮机叶片旋转所扫过的面积为风力发电机可接受风能的面积。设空气密度为p，气流速度为v，风轮机叶片长度为r。求单位时间内流向风轮机的最大风能Pm;
在风速和叶片数确定的情况下，要提高风轮机单位时间接受的风能，简述可采取的措施。
（3）已知风力发电机的输出电功率P与Pm成正比。某风力发电机的风速v19m/s时能够输出电功率P1=540kW。我国某地区风速不低于v2=6m/s的时间每年约为5000小时，试估算这台风力发电机在该地区的最小年发电量是多少千瓦时。
【名师解析】.(18分)
导线上损失的功率为P=I2R=(
损失的功率与输送功率的比值
(2)风垂直流向风轮机时，提供的风能功率最大.
单位时间内垂直流向叶片旋转面积的气体质量为pvS,S=r2
风能的最大功率可表示为
P风=
采取措施合理，如增加风轮机叶片长度，安装调向装置保持风轮机正面迎风等。
按题意，风力发电机的输出功率为P2=kW=160 kW
最小年发电量约为W=P2t=160×5000 kW·h=8×105kW·h
5. 美国麻省理工学院教授威斯哥夫根据能量的观点解释地球上的山峰为什么不能太高，他的观点是：山太高，则山太重，太重则会下沉，山下沉则重力势能减少．减少的势能如果足够将使部分岩石熔化，山就将继续下沉．为了使山不再下沉，山下沉所减少的重力势能必须小于熔化下沉部分岩石所需的能量．
为了估算地球上山的最大高度，我们把山简化成一个横截面积为S的圆柱体，如图1－6所示．假设山全部是由SiO2所组成，SiO2作为一个个单独的分子而存在．
(1)试导出用以下各物理量的符号表示的山的最大高度h的表达式．
(2)算出h的数值(保留一位有效数字)．
SiO2的摩尔质量A＝×10－2 kg/mol；
SiO2熔化时每个SiO2分子所需的能量E0＝ eV，1 eV＝×10－19 J；
山所在范围内的重力加速度g取10 m/s2；
阿伏伽德罗常量NA＝6×1023 mol－1.
【名师解析】
(1)设山体密度为ρ，山下降高度为x，山的质量m＝ρSh.。
下沉x减少的重力势能ΔEp＝mgx＝ρShgx.
使高x的岩石熔化所需能量为E＝NE0，N＝·NA.
使山不再下沉的条件是Δep＜E，
即ρShgx＜NAE0，
解得：h＜.
(2)代入相关数据得h＜m＝5×104 m.
答案：(1)h＜ (2)h＜5×104 m
6.（2006天津理综）（22分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m’的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m’ 的表达式（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v＝×105m/s，运行周期T＝×104s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝×10－11N·m2/kg2，ms＝×1030kg）
【名师解析】
（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速相同，其为ω。由牛顿运动运动定律，有
FA＝m1ω2r1
FB＝m2ω2r2
FA＝FB
设A、B之间的距离为r，又r＝r1＋r2，由上述各式得
r＝ ①
由万有引力定律，有
FA＝G
将①代入得
FA＝G
令
FA＝G
比较可得
②
（2）由牛顿第二定律，有
③
又可见星A的轨道半径
r1＝ ④
由②③④式可得
（3）将m1＝6mI代入⑤式，得
⑤
代入数据得
⑥
设m2＝nms，（n＞0），将其代入⑥式，得
⑦
可见，的值随n的增大而增大，试令n=2，得
⑧
若使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2ms，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。
【备考提示】：本题涉及的知识点较多，涉及的物理过程复杂，求解时要善于分析不同物理过程所对应的物理规律，通过认真审题挖掘隐藏的条件，建立相应的物理模型。
7．如图甲所示，静电除尘装置中有一长为、宽为、高为的矩形通道，其前、后面板使用绝缘材料，上、下面板使用金属材料．图乙是装置的截面图，上、下两板与电压恒定的高压直流电源相连．质量为、电荷量为、分布均匀的尘埃以水平速度进入矩形通道，当带负电的尘埃碰到下板后其所带电荷被中和，同时被收集．通过调整两板间距可以改变收集频率．当 时，为（即离下板范围内的尘埃能够被收集）．不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用．
（）求收集效率为时，两板间距的最大值为；
（）求收集效率与两板间距的函数关系；
（）若单位体积内的尘埃数为，求稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量与两板间距的函数关系，并绘出图线．
【参考答案】（）；（）；（）
【名师解析】（）收集效率为，即离下板的尘埃恰好到达下板的右端边缘，设高压电源的电压为，则在水平方向有 ①
在竖直方向有 ②
③
当减小两板间距时，能够增大电场强度，提高装置对尘埃的收集效率．收集效率恰好为时，两板间距即为如果进一步减小，收集效率仍为．因此，在水平方向有 ④
在竖直方向有 ⑤
⑥ 联立得．
（）通过前面的求解可知，当时，收集效率均为，当时，设距下板处的尘埃恰好到达下板的右端边缘，此时有 ⑦
根据题意，收集效率为 ⑧
联立．
（）稳定工作时单位时间下板收集的尘埃质量为
⑨
当时， ⑩
⑾
当 ⑿
因此．
绘出曲线如下图