文档介绍：第7章求解非线性方程
多项式运算在MATLAB中的实现
一、多项式的表达
n次多项式表达为:,是n+1项之和
在MATLAB中,n次多项式可以用n次多项式系数构成的长度为n+1的行向量表示
[a0, a1,……an-1,an]
二、多项式的加减运算
设有两个多项式和。它们的加减运算实际上就是它们的对应系数的加减运算。当它们的次数相同时,可以直接对多项式的系数向量进行加减运算。当它们的次数不同时,应该把次数低的多项式无高次项部分用0系数表示。
例2 计算
a=[1, -2, 5, 3]; b=[0, 0, 6, -1]; c=a+b
例3 设,,求f(x)+g(x)
f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3]; g1=[0, 0, 0, g];%为了和f的次数找齐
f+g1, f-g1
三、多项式的乘法运算
conv(p1,p2)
例4 在上例中,求f(x)*g(x)
f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3];
conv(f, g)
四、多项式的除法运算
[Q, r]=deconv(p1, p2)
表示p1除以p2,给出商式Q(x),余式r(x)。Q,和r仍为多项式系数向量
例4 在上例中,求f(x)/g(x)
f=[3, -5, 2, -7, 5, 6]; g=[3, 5, -3];
[Q, r]=deconv(f, g)
五、多项式的导函数
p=polyder(P):求多项式P的导函数
p=polyder(P,Q):求P·Q的导函数
[p,q]=polyder(P,Q):求P/Q的导函数,导函数的分子存入p,分母存入q。
参数P,Q是多项式的向量表示,p,q也是多项式的向量表示。
例4 求有理分式的导函数
P=[3, 5, 0, -8, 1, -5]; %有理分式分子
Q=[10, 5, 0, 0, 6, 0, 0, 7, -1, 0, -100]; %有理分式分母
[p,q]=polyder(P,Q)
六、多项式求根
多项式求根就是求满足多项式p(x)=0的x值。N次多项式应该有n个根。这些根可能是实根,也可能是若干对共轭复根。其调用格式是
x=roots(P)
其中P为多项式的系数向量,求得的根赋给向量x,即x(1),x(2),…,x(n)分别代表多项式的n个根。
该命令每次只能求一个一元多项式的根,该指令不能用于求方程组的解,必须把多项式方程变成Pn (x) = 0的形式;
例4 求方程的解。
首先将方程变成Pn (x) = 0的形式:
roots([1 -1 0 -1])
例5 求多项式x4+8x3-10的根。
A=[1,8,0,0,-10];
x=roots(A)
若已知多项式的全部根,则可以用poly函数建立起该多项式,其调用格式为:
P=poly(x)
若x为具有n个元素的向量,则poly(x)建立以x为其根的多项式,且将该多项式的系数赋给向量P。
例6 已知 f(x)=3x5+4x3-5x2-+5
(1) 计算f(x)=0 的全部根。
(2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x),并与f(x)进行对比。
P=[3,0,4,-5,-,5];
X=roots(P) %求方程f(x)=0的根
G=poly(X) %求多项式g(x)
将这个结果乘以3,就与f(x)一致
求解非线性方程f ( x ) = 0
方程求根的一般形式是求下列方程的根:
f ( x ) = 0 (l)
实际上,就是寻找使函数 f ( x)等于零的变量x,所以求方程(l)的根,也叫求函数 f ( x)的零点。如果变量x是列阵,则方程(l)就代表方程组。
当方程(l)中的函数 f (x)是有限个指数、对数、三角、反三角或幂函数的组合时,则方程(l)被称为超越方程,例如 e-x - sin(πx / 2 ) +lnx = 0 就是超越方程。
当方程(l)中的函数f(x)是多项式时,即 f(x)=Pn(x)= anxn + an-1xn + …+ alx + a0,则方程(l)就成为下面的多项式方程,也称代数方程:
Pn(x)= anxn + an-1xn + …+ alx + a0 = 0 ( 2 )
Pn(x)的最高次数n等于2、3时,用代数方法可以求出方程(2)的解析解,但是,当n ≥ 5时,伽罗瓦(Galois)定理已经证明它是没有代数求根方法的。至于超越方程,通常很难求出其解析解。所以,方程(l)的求解经常使用作图法或数值法,而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景,使之成为科学和工程中最实用的方法之一