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专题 19 不等式组及其解集
1．一元一次不等式组：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一
元一次不等式组.
2．不等式组的解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不
等式组的解集，解不等式组就是求它的解集.
3．利用数轴可以直观的表示不等式组的解集，不等式组的解集情况归纳如下：
不等式组（a<b） 数轴表示 解集 口诀
x b 同大取大
x a,
x b
x a 同小取小
x a,
x b
a x b 大小小大
x a,
中间找
x b
x a, 无解 大大小小
无解了
x b
x 2
当不等式带有“≤”或“≥”时，上面的口诀依然适用，如不等式组 的解集为 x 2 .
x 3
，注意利用数轴这一数学工具，过程直观明了.
典例精析
2x x 2, ①
例 1 解不等式组 x 1 x 1 并将解集在数轴上表示出来.
②
,
3 9
【分析】解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，然后利用数轴求出这些解集
的公共部分即为不等式组的解集.
【解】解不等式①，得 x>-2
解不等式②，得 x≤2
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图 19-1 所示.
∴不等式的解集为-2<x≤2
【点评】熟练解出不等式，并准确地在数轴上表示出来，从而在数轴上找到不等式解集
的公共部分即为不等式组的解集.
4x 1 7x 10, ①
拓展与变式 1 解不等式组 x 8 并写出它所有的整数解.
②
x 5 ,
3 : .
3x 4
拓展与变式 2 不等式组 1 2 的所有整数解的和是 .
5
拓展与变式 3 若|x+1|=x+1，|2x-7|=7-2x，则满足条件的所有非负整数 x 有 .
【反思】根据题意列出不等式（组），解出不等式组从而找出符合条件的解，注意非负
整数即自然数，也就是 0 和正整数.
x a, x a,
例 2 如果 a>2，那么不等式组 的解集为 ， 的解集为 .
x 2 x 2
【分析】把每个不等式的解集表示在数轴上（或用口诀），结合数轴找不等式组的解集.
【解】把不等式的解集表示在数轴上，
x a,
不等式组 表示在数轴上如图 19-2 所示，
x 2
可知解集为 x>a.
x a,
不等式组 表示在数轴上如图 19-3 所示，
x 2
可知解集为 2<x≤a.
【点评】利用数轴上的数越往右越大，在数轴上找好数约位置，结合数轴找到不
x a,
拓展与变式 4 （1）已知关于 x 的不等式组 的解集为 x≥2，则 a 的取值范围
x 2
是 .
x a,
（2）已知关于 x 的不等式组 有解，则 a 的取值范围是 .
x 2
x 2 m n, ①
拓展与变式 5 已知关于 x 的不等式组 的解集为 0<x<2，求 m-n 的值.
x 1 m 1 ②
x a 0, ①
拓展与变式 6 解关于 x 的不等式组 x 1 x 2
②
x.
2 3
: .
x a 0, ①
拓展与变式 7 已知关于 x 的不等式组 的整数共有 3 个，求 a 的取值
3 2x 1 ②
范围.
拓展与变式 8 定义新运算：对干任意实数 a，b 都有 a#b=ab-a-b+1，等式右边是通常
：2#4=2×4-2-4+1=：若 3#x 的值大
于 4 而不大于 m 时，恰有两个整数解，求 m 的取值范围.
【反思】解决含参数的不等式组问题，数形结合必不可少，同时要注意等号能否取到，
可将取等号的值代入原题中检验.
专题突破
2x 4 x,
的整数解有（ ）.
x 2 4x 1
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 : .
x 5 5x 1,
的解集是 x>1，则 m 的取值范围是 .
x m 1
①
5x 6 2 x 3 ,