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记作rirj.
记作k ri.
第一节 初等变换
定义1 下面三种对矩阵的变换,统称为矩阵的初等行变换.
 j两行互换,
矩阵初等变换的定义
以任意数k0去乘矩阵的第i行所有元素,
把矩阵的第i行的k倍加到第j行上去(其中k 为任意数),
记作kri+rj
1
WORKREVIEW
对A施以行初等变换.
CONTENTS
设矩阵
2
解
UNDERWORK
3
例1
WORKHARVEST
4
行阶梯形矩阵特点：
FUTUREOUTLOOK
5
行阶梯形矩阵
每一行首位非零元素所在列的位置逐行增加,且零行在非零行下面.
UNDERWORK
下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵,哪些不是?
P4
P3
P2
P1
√
√
√
×
P5
×
√
√
√
最后这个矩阵称为行最简形矩阵,其特点是:
(1)满足行阶梯矩阵特征,是一个行阶梯矩阵.
除1外,其它元素都是0.
如果对例1中的行阶梯矩阵进一步实施行变换,可使它更加简化.
(2)它每行中首位非零元素是1,而且首位非零元素所在列
对于矩阵的初等变换有如下几点说明:
如:

同类型的变换又会回到原矩阵.
初等行变换后的矩阵一般情况下与原矩阵不相等,所以
一定要用“→”来连接变换前后的矩阵.
初等行变换可以将任意m×n 阶矩阵化为行阶梯矩阵和行最简形矩阵.
注 三种变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换.
(4)如果对行的三种变换换成对列的,同样得到对列的三种变换,分别记为:
变换rik的逆变换为
(或记作rik)
变换ri+krj的逆变换为ri+(k)rj(或记作rikrj)
变换rirj的逆变换就是其本身
这就是矩阵的初等列变换.
矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
cicj (对调i j两列);
k ci (以任意数k0去乘矩阵的第i列的所有元素);
kci+ cj (第i列的k倍再加到第j列上).
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作
矩阵等价的定义

如果An是可逆矩阵,那么An经过有限次的初等变换可化成
单位矩阵En,所以
等价矩阵具有下列性质
(i)反身性 A~A
(ii)对称性 若A~B 则B~A
(iii)传递性 若A~B B~C 则A~C 
定义2
化为行最简形矩阵.
例2
将矩阵
解
从而得A3~E3.
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵