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一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）
1． 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】【解答】解：∵向北运动米记作米，
∴向南运动米可记作米 ，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量结合题意即可求解。
2． 某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57800人，57800用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得57800用科学记数法可以表示为
故答案为：A
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字整数的位数－1.
3． 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方结合题意对选项逐一分析计算即可求解。
4．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：要使 在实数范围内有意义， 只需.
故答案为：B.
【分析】要使二次根式在实数范围内有意义，只需二次根式内是非负数，转化为不等式求解.
5． 某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的．其中一个几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图）如图所示，这个几何体是（ ）
A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得几何体的三视图都是长方形，
∴几何体为长方体．
故答案为：D
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意还原几何体即可求解。
6． 一个七边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得七边形的内角和为（7-2）×180°=900°，
故答案为：B
【分析】根据多边形的内角和公式结合题意进行计算即可求解。
7． 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示：
甲
乙
丙
丁
根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲，
∴应该选择甲去参加比赛，
故答案为：A
【分析】根据平均数和方差的定义选择一个平均数最大和方差最小的运动员去参加比赛即可求解。
8． 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 如图所示：
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故答案为：C
【分析】先根据题意画出草图，进而根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可求解。
9． 两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设甲种药品成本的年平均下降率为，由题意得。
故答案为：B
【分析】设甲种药品成本的年平均下降率为，根据“两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元”即可列出一元二次方程。
10． 按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，，，，，，
∴第个代数式是
故答案为：D
【分析】根据题意观察代数式，，，，，，进而即可发现规律，从而写出第n个代数式。
11． 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得这四个字中，只有是轴对称图形，
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义结合题意对选项逐一分析即可求解。
12． 在中，，已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴=，
故答案为：C
【分析】根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
13． 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
∵，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】连接，先根据圆心角与弧的关系得到，进而根据圆周角定理即可求解。
14． 分解因式：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得=，
故答案为：A
【分析】先提取公因式a，进而运用平方差公式进行因式分解即可求解。
15． 某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．平方厘米 B．平方厘米
C．平方厘米 D．平方厘米
【答案】C
【解析】【解答】解：底面圆周长为厘米，
∴侧面积为平方厘米，
故答案为：
【分析】先根据题意求出圆锥的底面圆周长，进而即可求出圆锥的侧面积。
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
16． 若关于x的一元二次方程无实数根，则c的取值范围是 ．
【答案】c＞1
【解析】【解答】解：由题意得，
∴c＞1，
故答案为：c＞1
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可得到，进而即可求解。
17． 已知点在反比例函数的图象上，则 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴2n=10，
∴n=5，
故答案为：5
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征结合题意即可求解。
18． 如图，与交于点，且．若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：
【分析】根据相似三角形的判定证明，利用相似三角形的性质即可求解。
19． 某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用．学校数学兴趣小组为给学校提出合理的采购意见，随机抽取了该校学生人，了解他们喜欢的体育项目，将收集的数据整理，绘制成如下统计图：
注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的体育项目．
若该校共有学生人，则该校喜欢跳绳的学生大约有 人．
【答案】120
【解析】【解答】解：该校喜欢跳绳的学生大约有人，
故答案为：
【分析】根据样本估计总体的知识结合题意直接用总人数乘跳绳所占的百分比即可求解。
三、解答题（本大题共8小题，共62分）
20． 计算：．
【答案】解：，
，
【解析】【分析】根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值进行运算即可求解。
21． 如图，在和中，，，．
求证：．
【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
．
【解析】【分析】先根据题意进行角的计算得到，进而根据三角形全等的判定即可证明．
22． 某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
【答案】 解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，由题意得，
解得，
经检验是该方程的解，
答：型车的平均速度为．
【解析】【分析】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据题意即可列出分式方程，进而解方程，检验即可求解。
23． 为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”．某校七年级年级组准备从博物馆、植物园两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆、植物园、科技馆三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等．记选择博物馆为，选择植物园为，选择科技馆为，记七年级年级组的选择为，八年级年级组的选择为．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率．
【答案】（1）解：由题意可列表如下：
由表格可知，所有可能出现的结果总数为以上6种；
（2）.解：由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有种，
（七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同）．
【解析】【分析】（1）根据题意列表，进而即可求解；
（2）根据（1）中列表的结果得到该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有
种，进而即可求解。
24． 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长．
【答案】（1）解：连接，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形中，点、、、分别是各边的中点，
∴EH，HG，FG，EF分别是△ABD，△ACD，△BCD，△ABC的中位线，
，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形中，点、、、分别是各边的中点，
，，
矩形的周长为22，
，
四边形是菱形，
即，
四边形的面积为10，
，即，
，
，
．
【解析】【分析】（1）连接，，根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，进而根据三角形中位线定理得到，，再根据矩形的性质得到，从而结合题意根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据三角形中位线的性质得到，，进而结合矩形的性质和菱形的面积公式得到，，利用完全平方公式得到，再运用勾股定理即可求解。
25．、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．
某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表：
成本（单位：元/个）
销售价格（单位：元/个）
型号
35
a
型号
42
若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元．
（1）求、的值；
（2）若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值．
注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．
【答案】（1）解：由题意得，