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【答案】
【解析】 将双曲线化为标准方程是-y2=1,故离心率e==.
2. 已知椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若·=0,△PF1F2的面积为9,则该椭圆的准线方程为 .
【答案】 x=±
【解析】 设PF1=m,PF2=n,则得(m+n)2=100,即2a=m+n=10,所以a==4,所以椭圆的准线方程为x=±.
3. 已知直线l:y=2x和双曲线C:-=1(a>0,b>0)无公共点,则双曲线C的离心率的取值范围为 .
【答案】 (1,]
【解析】 由题意知双曲线的渐近线斜率k=≤2,所以≤4,所以≤5,即e2=≤5,e≤.又双曲线的离心率e>1,所以双曲线C的离心率的取值范围是(1,].
4. (2022·南通期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)过点,离心率为,又椭圆内接四边形ABCD(点A,B,C,D在椭圆上)的对角线AC,
BD相交于点P,且=2,=2.
(第4题)
(1) 求椭圆的方程;
(2) 求直线AB的斜率.
【解答】 (1) 依题意知解得
故所求椭圆的方程为+y2=1.
(2) 设A(x1,y1),则+=1.
由=2,得C.
代入椭圆方程+y2=1,得+=1.
整理得+-(x1+y1)-=0,
即x1+y1=-. ①
设B(x2,y2),同理可得x2+y2=-. ②
由①-②,得=-1,即直线AB的斜率k==-1.