文档介绍：袄芅薀薅羇蒀蒆薄聿芃莂圆锥曲线
(推荐时间：70分钟)
1．如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值．
解　(1)设椭圆的半焦距为c.
由题意可知，△AF1F2为等边三角形，
所以b＝c，b2＝3c2，a2＝4c2，a＝2c，
所以e＝.
(2)方法一　因为a2＝4c2，b2＝3c2，
所以直线AB的方程可设为y＝－(x－c)．
将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，
得B.
所以|AB|＝·＝c.
由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB
＝a·c·＝a2＝40，
解得a＝10，b＝5.
方法二　设|AB|＝t.
因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t.
再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a.
由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，
a＝10，b＝5.
2．已知△ABC中，点A，B的坐标分别为(－，0)，(，0)，点C在x轴上方．
(1)若点C坐标为(，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；
(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．
解　(1)设椭圆方程为＋＝1，c＝，
2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝，
椭圆方程为＋＝1.
(2)直线l的方程为y＝－(x－m)，
令M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由方程组
得3x2－4mx＋2m2－4＝0，
即
若Q恰在以MN为直径的圆上，
则·＝－1，
则m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0，
3m2－4m－5＝0，解得m＝.
将m值代入Δ＝－8m2＋48>0.∴m＝
3．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.
(1)求椭圆方程；
(2)求m的取值范围．
解　(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，
设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，
设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立即
则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，
由根与系数的关系知
又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)．
∴－x1＝2x2，∴
∴＝－22，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0时不成立，∴k2＝>0，
得<m2<4，此时Δ>0.
∴m的取值范围为∪.
4．已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2以C1的短轴为长轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设直线l与椭圆C2相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为(－2,0