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考点50 几何证明选讲
选择题
1. (2022·天津高考文科·T7)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.
则全部正确结论的序号是 ( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
【解析】,，所以即BD平分,故①正确；，知所以,,故②,④正确
二、填空题
2. （2022·湖北高考理科·Ｔ15）（选修4-1：几何证明选讲）
如图，为⊙外一点，过作⊙的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交⊙于两点，若则.
【解析】由切割线定理得，所以，.
答案：4
【误区警示】解答本题时简洁毁灭的问题是错误使用切割线定理。
3. （2022·湖南高考理科·Ｔ12）12．如图3，已知是的两条弦，则圆O的半径等于
【解题提示】做出过AO的直径，利用射影定理求解。
【解析】如图延长AO，做出直径AD，连接BD，则AB垂直于BD，设BC，AD交于E，
由于所以AE=1，由射影定理得，.
答案：
4.(2022·广东高考文科·T15)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= .
【解析】明显△CDF∽△AEF,则===3.
答案:3
5.(2022·广东高考理科)(几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= .
【解析】明显△CDF∽△AEF,则===9.
答案:9
【误区警示】不会用平行四边形得出相像三角形或误用相像比,利用图形的几何性质及面积比等于相像比的平方求解.
6.(2022·陕西高考文科·T15)（文理共用）B.(几何证明选做题)如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF= .
【解题指南】依据条件利用割线定理推得线段长度间关系,结合已知证得相像,从而得解.
【解析】由已知利用割线定理得:AE·AB=AF·AC,又AC=2AE,
得AB=2AF,
所以==且∠A=∠A得S△AEF∽S△ACB且相像比为1∶2,又BC=6,所以EF=3.
答案:3
三、解答题
7.（2022·辽宁高考文科·Ｔ22）与（2022·辽宁高考理科·Ｔ22）相同
（2022·辽宁高考文科·Ｔ22）如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.
【解析】（Ⅰ）证明：由于，所以.
由于为切线，所以，又由于，
,
从而,由于,所以,于是，故AB为圆的直径；
（Ⅱ）证明：连接BC,，，,从而≌.于是有
;又由于,所以，故∥.
由于，所以，为直角，则为直径，所以AB=ED.
8. (2022·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T22)(2022·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉:
(1)BE=EC.
(2)AD·DE=2PB2.
【解题提示】利用圆及三角形的平面几何性质求解.
【解析】（1）连接AB，＝PD，故∠PAD=∠PDA.
由于∠PDA=∠DAC+∠DCA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,
∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,＝EC.
（2）由切割线定理得=PB·PC.
由于PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE=BD·DC，
所以AD·DE＝.
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