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章末目标检测卷三 导数及其应用
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,,只有一项是符合题目要求的.
(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )
=-2x-1 =-2x+1
=2x-3 =2x+1
答案:B
解析:对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,
由导数的几何意义,知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.
又因为f(1)=-1,
所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),
化简得y=-2x+1.
=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是( )
>0 <0
>1 <1
答案:B
解析:求导得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.
3.(2021山西太原一模)已知函数f(x)=ex-1ex+1-ax,对于任意实数x1,x2,且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则实数a的取值范围为( )
>12 >1 ≥12 ≥1
答案:C
解析:由题意可得f(x)=ex-1ex+1-ax在定义域上为减函数,
所以f'(x)=2ex(ex+1)2-a≤0在R上恒成立,即a≥2ex(ex+1)2=2ex+1ex+2.
又因为2ex+1ex+2≤22ex·1ex+2=12,所以a≥12.
(x)=x2+x-ln x的零点的个数是( )
答案:A
解析:由f'(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当0<x<12时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x>12时,f'(x)>0,f(x)(x)的最小值为f12=34+ln2>0,
2
所以无零点.
∈12,2时,a≤1-xx+lnx恒成立,则a的最大值为( )
答案:A
解析:令f(x)=1-xx+lnx,则f'(x)=x-1x2.
当x∈12,1时,f'(x)<0;当x∈(1,2]时,f'(x)>0.
则f(x)在区间12,1内单调递减,在区间(1,2]上单调递增,
即在区间12,2上,f(x)min=f(1)=0,
故a≤0,即a的最大值为0.
(x)满足f'(x)+f(x)>1,f(0)=5,f'(x)是f(x)的导函数,则不等式ex(f(x)-1)>4(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(3,+∞)
答案:A
解析:令g(x)=ex(f(x)-1),则g'(x)=ex(f(x)-1)+exf'(x)=ex(f(x)+f'(x)-1).
因为f(x)+f'(x)>1,所以g'(x)>0.
所以函数g(x)在R上单调递增.
因为f(0)=5,所以g(0)=4.
所以不等式ex(f(x)-1)>4的解集,
由g(x)>g(0),得x>.
(x)=lnx+tanα0<α<π2的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为( )
,π2 ,π3
,π4 ,π4
答案:A
解析:∵f(x)=lnx+tanα,∴f'(x)=1x.
令f(x)=f'(x),得lnx+tanα=1x,
即tanα=1x-lnx.
设g(x)=1x-lnx,显然g(x)在区间(0,+∞)内单调递减,而当x→0时(从0的右边趋近),g(x)→+∞,
故要使满足f'(x)=f(x)的根x0<1,
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只需tanα>g(1)=<α<π2,
∴α∈π4,π2.
(x)在R上可导,导函数为f'(x),且满足f'(x)<f(x),f(x+5)为偶函数,f(10)=1,则不等式f(x)<ex的解集为( )
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.(5,+∞) D.(10,+∞)
答案:A
解析:设g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex.
∵f'(x)<f(x),∴g'(x)<0,∴g(x)在R上单调递减.
∵函数f(x+5)是偶函数,
∴函数f(x+5)的图象关于直线x=0对称,
∴函数f(x)的图象关于直线x=5对称.
∴f(0)=f(10)=1.
原不等式等价为g(x)<1.
∵g(0)=f(0)e0=1,且g(x)在R上单调递减,
∴g(x)<1,即g(x)<g(0),其解集为x>0,
∴不等式f(x)<ex的解集为(0,+∞).故选A.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,,,有选错的得0分,部分选对的得3分.
=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
=f(x)在区间-3,-12内单调递增
=-2时,函数y=f(x)取得极小值
=f(x)在区间(-2,2)内单调递增
=3时,函数y=f(x)有极小值
答案:BC
解析:对于A,函数y=f(x)在区间-3,-2内单调递减,在区间-2,-12内单调递增,故A不正确;
对于B,由选项A中分析知,当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值,故B正确;
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对于C,当x∈(-2,2)时,恒有f'(x)>0,
则函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增,故C正确;
对于D,当x=3时,f'(x)≠0,故D不正确.
(x)=13x3+x2-23在区间(a-1,a+4)内存在最小值,则整数a可以取( )
A.-3 B.-2 C.-1
答案:BCD
解析:由题意,得f'(x)=x2+2x=x(x+2),
故f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)内单调递增,
在区间(-2,0)内单调递减,作出其大致图象如图所示.
令13x3+x2-23=-23,得x=0或x=-3.
则结合图象可知-3≤a-1<0,a+4>0,解得a∈[-2,1).
又a∈Z,所以a可以取-2,-1,0.
11.(2021河北保定一模)已知函数f(x)=cosxex+sinx,则下列选项中正确的是( )
(x)在区间0,π2上单调递减
∈π2,π时,f(x)<0恒成立
C.-π2,0是函数f(x)的一个单调递减区间
=-π是函数f(x)的一个极小值点
答案:AB
解析:f'(x)=-ex(sinx+cosx)-1(ex+sinx)2=-2exsinx+π4-1(ex+sinx)2,
对于A,当x∈0,π2时,x+π4∈π4,3π4,sinx+π4>0,所以f'(x)<0,故A正确;
对于B,当x∈π2,π时,cosx<0,ex>0,sinx>0,所以f(x)<0,故B正确;
对于C,f-π4=cos-π4e-π4+sin-π4,
又e-π4+sin-π4=1eπ4-12<0,
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所以f-π4<0,
f-12=cos-12e-12-sin12,cos-12>0,e-12-sin12>1e-12>0,
所以f-12>0,
又-π4<-12,但此时有f-π4<f-12,故C错误;
对于D,因为f'(-π)=e-π-1(e-π)2≠0,所以x=-π不是函数f(x)的极值点,故D错误.
(x)=x-(x-1)lnx,下列说法正确的是( )
(x)存在唯一极值点x0,且x0∈(1,2)
,使得f(a)>2
(x)=-1有且仅有两个实数根,且两根互为倒数
<1时,函数f(x)与g(x)=kx的图象有两个交点
答案:ACD
解析:对f(x)=x-(x-1)lnx进行求导,可得f'(x)=-lnx+1x,显然f'(x)为减函数,f'(1)=1>0,f'(2)=-ln2+12<0,故存在x0∈(1,2),使得f'(x0)=0,
且当x∈(0,x0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故x0为唯一的极大值点,故A正确;
由题意可知,x0为最大值点,
由f'(x0)=-lnx0+1x0=0,可得f(x0)=x0-(x0-1)lnx0=x0+1x0-1.
因为x0∈(1,2),所以f(x0)<2,故B错误;
若x1是方程f(x)=-1的一个解,
即f(x1)=x1-(x1-1)lnx1=-1,
则f1x1=1x1-1x1-1ln1x1=1x1+1x1-1lnx1=1x1+(1-x1)lnx1x1=1x1+-x1-1x1=-1,
故x1和1x1都是方程f(x)=-1的解,故C正确;
由g(x)=kx,f(x)=g(x),可得k=1-1-1xlnx.
令m(x)=1-1-1xlnx,x>0,则m'(x)=-x-lnx+1x2.
令h(x)=-x-lnx+1,x>0,因为x>0,
所以h'(x)=-1-1x<0,故h(x)=-x-lnx+1为减函数,
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而h(1)=0,所以当x∈(0,1)时,h(x)>0,即m'(x)>0,m(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即m'(x)<0,m(x)单调递减,所以m(x)≤m(1)=1,故当k<1时,f(x)与g(x)=.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则切点坐标为 . 
答案:(1,2)
解析:设切线的切点坐标为(x0,y0),
由y=lnx+x+1,得y'=1x+1,
因为y'|x=x0=1x0+1=2,
解得x0=1,y0=2,
所以切点的坐标为(1,2).
(x)=aex-lnx-1,若x=1是f(x)的极值点,则a= ,f(x)的单调递增区间为 . 
答案:1e (1,+∞)
解析:由题意可得f'(x)=aex-1x(x>0).
由x=1是f(x)的极值点,得f'(1)=ae-1=0,解得a=1e.
即f(x)=ex-1-lnx-1,f'(x)=ex-1-1x,
令f'(x)>0,可得x>1,
故f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
(x)=e|x-1|,函数g(x)=lnx-x+a,若∃x1,x2使得f(x1)<g(x2)成立,则a的取值范围是 . 
答案:(2,+∞)
解析:由题意,∃x1,x2使得f(x1)<g(x2)成立,可转化为f(x)min<g(x)max成立,
由函数f(x)=e|x-1|,根据指数函数的图象与性质可知,
当x=1时,函数f(x)=e|x-1|取得最小值,此时最小值为f(1)=1.
由g(x)=lnx-x+a,得g'(x)=1x-1=1-xx(x>0).
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,则函数g(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,则函数g(x)单调递减,
所以当x=1时,函数g(x)有最大值,此时最大值为g(1)=a-1,令a-1>1,解得a>2,即实数a的取值范围是(2,+∞).
(x)=xlnx+12x2,x0是函数f(x)的极值点,给出以下几个结论:
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①0<x0<1e;②x0>1e;③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>0.
其中正确的结论是 .(填序号) 
答案:①③
解析:由已知得f'(x)=lnx+x+1(x>0),不妨令g(x)=lnx+x+1(x>0),则g'(x)=1x+∈(0,+∞)时,有g'(x)>0总成立,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且g1e=1e>(x)的极值点,所以f'(x0)=g(x0)=0,即g1e>g(x0),所以0<x0<1e,即①正确,则②错误;
因为lnx0+x0+1=0,所以f(x0)+x0=x0lnx0+12x02+x0=x0(lnx0+x0+1)-12x02=-12x02<0,故③正确,而④①③.
四、解答题:本题共6小题,、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)若a=0,讨论f(x)的单调性;
(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
解:(1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
故f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.
(2)f'(x)=ex-1-2ax.
由(1)知,当a=0时,f(x)≥f(0)=0,
即ex≥1+x,当且仅当x=0时,等号成立,
故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x.
当a≤12时,1-2a≥0,f'(x)≥0(x≥0),f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,
因为f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0,符合题意.
当a>12时,由ex>1+x(x≠0),可得e-x>1-x(x≠0).
所以f'(x)<ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),
故当x∈(0,ln2a)时,f'(x)<0,而f(0)=0,于是当x∈(0,ln2a)时,f(x)<0,不符合题意.
综上,可得a的取值范围为-∞,12.
18.(12分)(2021北京,19)已知函数f(x)=3-2xx2+a.
(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求f(x)的单调区间,以及极大值和极小值.
解:(1)当a=0时,f(x)=3-2xx2,则f'(x)=2(x-3)x3,得f(1)=1,f'(1)=-4,
此时,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-4(x-1),即4x+y-5=0.
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(2)因为f(x)=3-2xx2+a,
所以f'(x)=-2(x2+a)-2x(3-2x)(x2+a)2=2(x2-3x-a)(x2+a)2.
由题意可得f'(-1)=2(4-a)(a+1)2=0,
解得a=4,
故f(x)=3-2xx2+4,f'(x)=2(x+1)(x-4)(x2+4)2.
当x变化时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,4)
4
(4,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(4,+∞),单调递减区间为(-1,4).
当x=-1时,f(x)取得极大值,f(-1)=1;当x=4时,f(x)取得极小值,f(4)=-14.
19.(12分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
(2)证明:当x>0时,x2<ex.
(1)解:由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.
因为f'(0)=1-a=-1,所以a=2.
所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.
令f'(x)=0,得x=ln2.
当x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x>ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,极小值为f(ln2)=2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.
(2)证明:令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x.
由(1),得g'(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0,
故g(x)在R上单调递增.
因为g(0)=1>0,
所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,
即x2<ex.
20.(12分)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
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解:(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.
当x<0时,f'(x)<0;
当x>0时,f'(x)>0.
所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.
(2)f'(x)=ex-≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.
当a>0时,由f'(x)=0,可得x=lna.
当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;
当x∈(lna,+∞)时f'(x)>0.
所以f(x)在区间(-∞,lna)内单调递减,在区间(lna,+∞)内单调递增,
故当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a(1+lna).
①若0<a≤1e,则f(lna)≥0,f(x)在区间(-∞,+∞)内至多存在一个零点,不合题意.
②若a>1e,则f(lna)<0.
因为f(-2)=e-2>0,所以f(x)在区间(-∞,lna)内存在唯一零点.
由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,
所以当x>4,且x>2ln(2a)时,f(x)=ex2·ex2-a(x+2)>eln(2a)·x2+2-a(x+2)=2a>(x)在区间(lna,+∞)内存在唯一零点.
从而f(x)在区间(-∞,+∞)内有两个零点.
综上,a的取值范围是1e,+∞.
21.(12分)(2021天津,20)已知a>0,函数f(x)=ax-xex.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)证明:函数f(x)存在唯一的极值点;
(3)若存在实数a,使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立,求实数b的取值范围.
(1)解:f'(x)=a-(x+1)ex,则f'(0)=a-1,
又f(0)=0,则切线方程为y=(a-1)x(a>0).
(2)证明:令f'(x)=a-(x+1)ex=0,则a=(x+1)ex.
令g(x)=(x+1)ex,则g'(x)=(x+2)ex,
当x∈(-∞,-2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(-2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
当x→-∞时,g(x)<0,g(-1)=0,当x→+∞时,g(x)>0,画出g(x)的大致图象如下:
10
所以当a>0时,直线y=a与曲线y=g(x)仅有一个交点,令g(m)=a,则m>-1,且f'(m)=a-g(m)=0,
当x∈(-∞,m)时,a>g(x),则f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(m,+∞)时,a<g(x),则f'(x)<0,f(x)单调递减,
x=m为f(x)的极大值点,故f(x)存在唯一的极值点.
(3)解:由(2)知f(x)max=f(m),此时a=(1+m)em,m>-1,
所以{f(x)-a}max=f(m)-a=(m2-m-1)em(m>-1),
令h(x)=(x2-x-1)ex(x>-1),
若存在实数a,使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立,等价于存在x∈(-1,+∞),使得h(x)≤b,即b≥h(x)min,
h'(x)=(x2+x-2)ex=(x-1)(x+2)ex,x>-1,
当x∈(-1,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
所以h(x)min=h(1)=-e,故b≥-e,
所以实数b的取值范围为[-e,+∞).
22.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:b2>3a;
(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-72,求a的取值范围.
(1)解:由f(x)=x3+ax2+bx+1,
得f'(x)=3x2+2ax+b=3x+a32+b-a23.
当x=-a3时,f'(x)有极小值b-a23.
因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,
所以f-a3=-a327+a39-ab3+1=0.
又a>0,所以b=2a29+(x)有极值,所以f'(x)=0有实根,从而b-a23=19a(27-a3)≤0,即a≥3.
当a=3时,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;
当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=-a-a2-3b3,x2=-a+a2-3b3.