文档介绍：[学****目标] 、、、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.
知识点一正弦定理及其变形
1.===2R.
=2Rsin__A,b=2Rsin__B,c=2Rsin__C.(化角为边)
A=,sin B=,sin C=.(化边为角)
知识点二余弦定理及其推论
=b2+c2-os__A,cos A=.(边角互化)
△ABC中,c2=a2+b2⇔C为直角,c2>a2+b2⇔C为钝角;c2<a2+b2⇔C为锐角.
知识点三解三角形的几类问题和解法
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角(如a,B,C)
正弦定理
由A+B+C=180°,求A,再由正弦定理求出b与c
两边及其夹角(如a,b,C)
余弦定理和正弦定理
由余弦定理求第三边c,再由正弦定理求出第二个角,再由A+B+C=180°,求出第三个角
两边和其中一边所对的角(如a,b,B)
正弦定理
由正弦定理求A,再由A+B+C=180°求C,最后由正弦定理求c
三边a,b,c
余弦定理
先由余弦定理的推论求出两个角,再由三角形内角和定理求第三个角
知识点四三角形内的角的函数关系
在△ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,则有
(1)sin(A+B)=sin__C,cos(A+B)=-cos__C,tan(A+B)=-tan__C,
(2)sin=cos ,cos =sin .
题型一利用正弦、余弦定理解三角形或求值
例1 在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.
(1)求AB的长;
(2)cos的值.
解(1)由cos B=,
则sin B==,
又∵C=,AC=6,由正弦定理,
得=,
即=⇒AB=5.
(2)由(1)得:sin B=,cos B=,sin C=cos C=,
则sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=,
cos A=-cos(B+C)=-(cos Bcos C-sin Bsin C)=-,则cos=cos Acos+sin Asin=.
反思与感悟应用正弦、余弦定理解三角形时,要注意结合题目中的条件,,要合理运用三角恒等变换的公式进行转化.
跟踪训练1 如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为________.
答案
解析∵sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=,
∴在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=18+9-2·3·3·=3.
∴BD=.
题型二判断三角形的形状
例2 在△ABC中,b=asin C,c=acos B,试判断△ABC的形状.
解由余弦定理知cos B=,
代入c=acos B,得c=a·,
所以c2+b2=a2,
所以△ABC是以A为直角的直角三角形.
又因为b=asin C,所以b=a·,所以b=c,
所以△ABC也是等腰三角形.
综上所述,△ABC是等腰直角三角形.
反思与感悟(1)判断三角形形状时,要灵活应用正弦、,应视具体情况而定.
(2)常用的几种转化形式:
①若cos A=0,则A=90°,△ABC为直角三角形;
②若cos A<0,则△ABC为钝角三角形;
③若cos A>0且 cos B>0且cos C>0,则△ABC为锐角三角形;
④若sin2A+sin2B=sin2C,则C=90°,△ABC为直角三角形;
⑤若sin A=sin B或sin(A-B)=0,则A=B,△ABC为等腰三角形;
⑥若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B=90°,△ABC为等腰三角形或直角三角形.
跟踪训练2 在△ABC中,cos A=,且(a-2)∶b∶(c+2)=1∶2∶3,试判断三角形的形状.
解由已知设a-2=x,则b=2x,c+2=3x,
所以a=2+x,c=3x-2,
由余弦定理得cos A==.
解得x=4,所以a=6,b=8,c=10,
所以a2+b2=c2,所以三角形为直角三角形.
题型三有关创新型问题
例3 已知x>0,y>0,且x2-xy+y2=1,求x2-y2的最大值与最小值.
解构造△ABC,使AB=1,BC=x,AC=y,C=60°,
由余弦定理知AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C,
∴1=x2+y2-xy,即x,y满足已知条件,
由正弦定理得===.
∴x=si