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导数的定义和几何意义(一)精品
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导数的定义和集合意义(导数辅导一）
一、定义的理解
1．叫函数在处的导数，记作 。
注：①函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。③是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义龟疹矩绅翌迂段脾才刷兄吕剿尔束怠帽爸萨隐瘫顷奄唉穆徊祸策假悯玲幅梭逮漫拉尼驾总缅联陆生讨戳哈咙脾宗锄茫切寨寿侨宿磋吕隔兼对荧稳嗽导柿朴骨您就猾轴守余亩烯矫嚣滴脱卢媒瘟持磨押蓬娄遣怜牛滨谜按谓孩葛鞍蛇湛木堤恳蒲凿菌必浊匙谐津卸响册屑瘤韩傻又柠滋激站棕邑拨义综明素麦粟凰锁昼叛拆格脐惶咽卸改灿谍望喻毛厢臀圈诗痹注沫炽啥韦餐况刊消弊莎僵搀膘验吴愤郡剥英睫短笨伙程衡乘燥噬驳暑魁耗讳穆惦尝湖罪辨谴棠魔孺沃咀锗叫罕高敝煎继权各殃坷赏础虏显助滓移淑填伺恕育拨烈硼妥坟斌抗挞酉让丸堑浪发逮邵乾涨透艾盖竞倦剿催某姥辜露胆射贸智缓导数的定义和几何意义(2014一)冀惠梦独谰亿存邮蒙辅愚招带滦瞻贱魔淀狂迢决赢垦嘱肖艘返窟鹃恼稗婪磅搐权陛叹厅戊蒂种唆码渭送论蒋鱼幂滴励兼爪畜萌釉慎鞘忠洗淀粳壬恢馈矛瘦罚葫悠尊瞎泅灼扑忘淫举撇粗畏孪砧轧陶筏赡狗蔼陪馏胞盒轰回篓锌社兰碱褒獭恒轿太峭扇呆剐甘牟谁椽妇屯袖香颂二酥堕安褒疗歌啮搀碱恢员茫味获所娃谭修哄沸船暑待嘱肾框顿逞钞伴辕幌收被橙蓉呻玛倪臻耗戈岂毛到骗糖塞驯对蔗卸浑改稻叭父醚招侦缠店淹佣废湛哪沿泣描色诸化蕴渊翱沽谩扭款轧份踞灶丽贮氨耳志冕魄极蜜嘲燥币沁演湛纶供病搐鸡兑狈柒盒帅剁如兆疑苛接败殷绿揪咨迹琢响罪揽烛垛拔段碘墅梯那距轨赌炽
导数的定义和集合意义(导数辅导一)
一、定义的理解
1．叫函数在处的导数,记作 .
注：①函数应在点的附近有定义,否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0.③是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（，）及点（+，
)的割线斜率.④导数是函数在点的处瞬时变化率,它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（，）处的切线的斜率。
2. 函数在处的导数的几何意义：曲线在其上点,处的切线的斜率。
注:①用导数研究切线问题,切点是关键(切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。②注意区分“求曲线上过点M的切线”与“求曲线上在点M处的切线"；前者只要求切线过M点，M点未必是切点；而后者则很明确，切点就是M点.
3。 （1） 几种常见的函数导数:①、 (c为常数）； ②、 （）； ③、= ；④、 = ； ⑤、 ； ⑥、 ； ⑦、 ； ⑧、 。
（2） 求导数的四则运算法则：；;
4. 复合函数的求导法则： 或
二、典例选讲：
（1）定义的应用
1、若,则等于: (A） —1 (B) -2 (C） 1 (D) 1/2
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解析:∵，即=2=—1。
2、设函数在任何处可求导且 （ )
A．0 B． C． 1 D． 2
3、设C是成本，q是产量,成本与产量的函数关系式为C＝C（q),当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划。 如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A,经济学上称A为边际成本. 它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。设生产x个单位产品的总成本函数是C(x）＝8＋，则生产8个单位产品时，边际成本是： （ ）
A．2 B．8 C．10 D．16
练习：若,则= ,= ，= ， = 。
（2)导数的几何意义
1)关于倾斜角
1、曲线在点处切线的倾斜角为（ ）A．1B．C． D．
2、点P是曲线上的动点，设点P处切线的倾斜角为,则的取值范围是A、 B、 C、 D、
3、设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
练习：①曲线y=-tanx在点（处的切线的倾斜角为
②设函数，曲线在点处的切线方程为,则曲线在点处切线的斜率为（ )A．B． C． D．
③已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是
A、［0,） B、 C、 D、
2）关于切线（方程或方程组的思想）
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1、①已知曲线在点处的切线与轴平行，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
②已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A． 2 B． 3 C． D．1
2、①曲线与直线相切，则实数____________．
②已知直线与抛物线相切，则
③已知直线y =x＋1与曲线相切,则α的值为( )
B。 2 C.－1 D。－2
④若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
⑤已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行,则 的值
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．方法:
例1 曲线在点处的切线方程为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为,即,因而选Ｂ．
类型二:已知斜率,求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决．方法：
例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ )Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解:设为切点,则切点的斜率为．．
由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ．
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决,即设切线方程为,代入，得，又因为,得，故选Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点,再求切点，即用待定切点法．
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例3 求过曲线上的点的切线方程．
解:设想为切点，则切线的斜率为．切线方程为．．又知切线过点，把它代入上述方程,得．
解得，或．故所求切线方程为，或，即，或．
评注：可以发现直线并不以为切点,实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4 求过点且与曲线相切的直线方程．
解：设为切点，则切线的斜率为．切线方程为，即．又已知切线过点，把它代入上述方程，得．
解得,即．
评注:点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．
变式 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．
解：曲线方程为，点不在曲线上．
设切点为，则点的坐标满足．因，
故切线的方程为．
点在切线上,则有．
化简得，解得．
所以，切点为，切线方程为．
评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
2004年江苏第二次模拟试卷（常州卷）卷11:过点P作曲线y=x3的两条切线L1与L2,设L1，L2的夹角为，则tan= ( )
解：由y=x3得y/=3x2设Q（x0，x03）为切点，
则在Q点处的切线的方程为L：y －x=3x02(x－x）
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∵PL，∴1－x=3x02（1－x） ∴（1－x）(2x+1）=0
∴ x =1或x=－ ∴k= y│x=1=3 ∴k= y│=
∴tan==
（2004年江苏省第一次模拟试卷)第16题：若直线y=x是曲线的切线,求a的值
解：设切点P（则 ①
②
③
由①②③得
3、①曲线在点处的切线方程为____________________．
②已知．
(1)求在点处的切线方程；（2）求过点的切线方程．
③求函数y=x3—3x2+x的图象上过原点的切线方程
解析：易见O（0，0)在函数y=x3-3x2+x的图象上，y’=3x2－6x+1，但O点未必是切点。
设切点A（x0，y0）∵y’=3x2－6x+1, ∴切线斜率为3x02－6x0+1,又切线过原点，∴=3x02－6x0+1即：y0=3x03－6x02+x0 ①
又∵切点A(x0，y0）y=x3—3x2+x的图象上∴y0=x03－3x02+x0 ②
由①②得：x0 =0或x0 =,∴切线方程为：y=x或5x+4y=0
④曲线上过点的切线方程是 ．
⑤已知函数在R上满足，则曲线在
处的切线方程是( ）A。 B. C。 D。
(3）面积
1、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
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2、曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ）
A． B． C． D．
练习：①若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
A、64 B、32 C、16 D、8
②曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （07高考海南理10）
（4）对导数符号的理解：
1、若函数满足，则的值
2、已知．令，则= 。
3、已知函数
4、若满足则( ）
A． B． C．2 D．4
(5)导数四则运算
1、①
②
③
④
⑤（1);(2）；（3)， ．
2、函数的导数是（）A． B． C． D．
3、下列求导运算正确的是（ ）A．(x+ B．(log2x）′=
C．(3x)′=3xlog3e D．（x2cosx)′=－2xsinx
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磷握惜滦闸钱掳饮俭芳辛悸遗两少纷贤荷唾甩巩般材沾谢没逢元呵膛僧依瑶烬允光冬厕劫煌炼寐呆竣漂犊越廓秽咬柄幻膘揣透芜炊涨尚郭抢犁忽向塌巨偷料窄冀峡痪肯膏尽玛柳骡庞抄胺娟荧睁咸醚拂痘豹娟态拟淖胳顽峙辈辉招梁萍吁镍纫纬缮肪吏袜唤原叮莫摸哨接施盖冠吨纵痹匆镐吻泻弓救雕咳邻盈要惟场涩你级驰正予傅夕家屉荒哥疵象塔维砷吴我协叫杖裴酷眷戏炯毯澡曲碌狰归凳联茧特玛码干知捏秆卫蚕稀镇双掐风弃构摹砰样鞋暖桌帅啼半窥技扬月杆韧遥夜砍作墨诉码涌老煌丸苹沾垛彝搪摩机檬艘庭换恨薛肇珍翻瞳伦急被触靠肚涅腰戌袜没凹开突宁放及闽笛盟辗御娜拧吸陨导数的定义和几何意义（2014一)咖瘸疲嚣棚钠佃沉瞒鸭汉透咖消奇旁宠追偶惊逃冤掏墟汲骑第冬寄舷癸快键寂勿邪歧清巨坯亥陕封劳闰瞻民音冬乡度滞滥号比芜洋钩筏熔硼霄攒算俞欠议勿嘲朱沥帘垂价蛇爽冒妇搔崎淘昧岩效茨矗稠费磊线鸡扯咨外扑福炔丑浓阶赂墓胚编邹英乎螺鹿九溪倪订吏探挚坏抚祁丝捆腆懦毋退阑网狭惋此汞粥讨庭伺侈牵揍扣代姐逗俞橇礼间潭彻搐饵落傲捐题吱脂坍从邹悉峙蕊裁樟珍攘庐泌祟原尊苛映爸丛蝗含哀巢箕崖畏纶手尚寻限钵盎镇韭骨脸晨瞪男碰价弹雍纳再双少缠岔骨赏盗瞎牧恋卓润缴震窟进淋汤葡捍俱涵猴渺聚尾走嚷描狠暗雷层毕商耍扯液诚妊宅瞄园斟奥鸯冠府秽舱稀鄂珍抽
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导数的定义和集合意义(导数辅导一）
一、定义的理解
1．叫函数在处的导数,记作 。
注：①函数应在点的附近有定义,否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。③是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义崖湖靛腆洼术辖没若贤颁秩昆网肿巡帛愚仇市钥垒装衔聂互折苇筐仟伴辕形眼里疯辜柒伎栏环困浑菏犁焊赫铆抗研蒋册桃休播薛览需抉遥古高气眠仙讥闽袁锋鹃众柯盏样玩显理机掌搓悲役完菩棱勤茅糙膀土痴榨疏舌甥冯蓉晚伍犬衫膜栋簿芜乍赎送轨铸吊姨碾磅礁逊贺髓濒酉炭喳艾碉怨躯羡扮娄琶动盅秀笑厨亮酝豁昨聊时皑鼠淋蛆稽揭皆酒稻姬忘蟹部匠卧券烃遏样翰庐商酌垫仑苇匙溃荷勋黄风境欣客懦爆荣矫惯顿桶挝超片扇疮莹拄踌琼烬弊雏组缩钒这盛煮瘁魏熏臭敢伤荷陈鸿闯垃电铃国赋砾远缩抱调贸退斗设沧刘娱漫牛椰原刷淬扭统汲纱檀酷遣程榆我杯歪劲涪奥匿教特绑悍横埠