文档介绍：轨迹问题
●知识梳理
:(1)结合解析几何中某种曲线的定义,从定义出发寻找解决问题的方法;(2)利用几何性质,若所求的轨迹与图形的性质相关,往往利用三角形或圆的性质来解问题;(3)如果点P的运动轨迹或所在曲线已知,又点Q与点P之间的坐标可以建立某种关系,则借助点P的轨迹可以得到点Q的轨迹;(4)参数法.
●点击双基
=1的距离与它到点A(4,0)的距离之比为2,则P点的轨迹是

(5,0)的椭圆

(5,0)的双曲线
解析:直接法.
答案:B
2.(2005年春季北京,6)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0)、F2(,0),P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,则该双曲线的方程是
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 -=1
解析:设双曲线的方程为-=1.
由题意||PF1|-|PF2||=2a,
|PF1|2+|PF2|2=(2)2.
又∵|PF1|·|PF2|=2,
∴a=2,b=1.
故双曲线方程为-y2=1.
答案:C
(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是
-=1(y≤-1) -=1
-=-1 -=1
解析:由题意|AC|=13,|BC|=15,
|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.
故F点的轨迹是以A、B为焦点,=7,a=1,b2=48,
所以轨迹方程为y2-=1(y≤-1).
答案:A
、F2为椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上任一点,过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是________________.
解析:延长F1D与F2A交于B,连结DO,可知DO=F2B=2,∴动点D的轨迹方程为x2+y2=4.
答案:x2+y2=4
△ABC中,B(1,0)、C(5,0),点A在x轴上方移动,且tanB+tanC=3,则△ABC的重心G的轨迹方程为________________.
解析:设A(x0,y0),
∵tanB+tanC=3,
∴-=3,点A的轨迹方程为y0=-(x02-6x0+5)(x0≠1且x0≠5).若 G(x,y)为△ABC的重心,则由重心坐标公式:x=,y=,∴x0=3x-6,且y0=-1=-(x-3)2(x≠且x≠).
答案:y-1=-(x-3)2(x≠且x≠)
●典例剖析
【例1】在△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,且△PMN的面积为1,建立适当的坐标系,求以M、N为焦点,且过点P的椭圆的方程.
剖析:如上图,以直线MN为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则所求椭圆方程为+=、b2是未知数,但a2、b2与已知条件没有直接联系,因此应寻找与已知条件和谐统一的未知元,或改造已知条件.
解法一:如上图,过P作PQ⊥MN,垂足为Q,
令|PQ|=m,于是可得|MQ|=|PQ|cot∠PMQ=2m,|QN|=|PQ|cot∠PNQ=m.
∴|MN|=|MQ|-|NQ|=2m-m=m.
于是S△PMN=|MN|·|PQ|=·m·m=1.
因而m=,|MQ|=2,|NQ|=,|MN|=.
|MP|===,
|NP|===.
以MN的中点为原点,MN所在直线为x轴建立直角坐标系,设椭圆方程为+=1(a>b>0).
则2a=|MP|+|NP|=,
2c=|MN|=,
故所求椭圆方程为+=1.
解法二:设M(-c,0)、N(c,0),P(x,y),y>0,
=,
则
=2,
y·c=1,
解之,得x=,y=,c=.
设椭圆方程为b2x2+a2y2=a2b2,则
b2·()2+a2()2=a2b2,
a2-b2=,
解之,得a2=,b2=3.
(以下略)
评述:解法一选择了与a较接近的未知元|PM|、|PN|,但需改造已知条件,以便利用正弦定理和面积公式;解法二以条件为主,选择了与条件联系最直接的未知元x、y、,但最能体现方程思想方法的、学生易于理解和接受的是这两种解法.
深化拓展
若把△PMN的面积为1改为·=,求椭圆方程.
提示:由tan∠PMN=,tan∠MNP=-2,
易得sin∠MPN=,cos∠MPN=.
由·=,得||||