文档介绍：微分方程模型第一讲
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1、微分方程的主要适用范围
我们所关心的研究对象的特征,会随时间(空间)的变化而变化,这种变化可以是连续的,也可以是不连续的。
一般来说,如果判断研究对象的某些特征可能会关于时间、空间连续,那么应该重点考虑利用微分方程建立模型,至少可以利用微分方程建立某些子问题的模型。
比如,问题中涉及到:
(1) 物体的运动、振动、受力形变
(2) 生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化
(3) 物质、能量的扩散、传递
(4) 消费品在市场上的销售过程
(5) 信息的扩散与传播
导弹的运动轨迹测算,运动目标的跟踪与拦截;高层建筑、桥梁的防震、防强风设计;桥梁、微型手术器械的形变与控制,弹性杆受力形变
自然环境中植物的生长,两种或多种生物之间的相互依赖、促进,食物链问题;动植物、微生物在环境中的扩散与增长;传染病的传播与控制
粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积,化学反应过程的描述,热量在同种或不同物质间的传导
比如,问题中涉及到:(1) 物体的运动、振动、受力形变;(2) 生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化;(3) 物质、能量的扩散、传递;(4) 消费品在市场上的销售过程;(5) 信息的扩散与传播。
导弹的运动轨迹测算,运动目标的跟踪与拦截;高层建筑、桥梁的防震、防强风设计;桥梁、微型手术器械的形变与控制,弹性杆受力形变
自然环境中植物的生长,两种或多种生物之间的相互依赖、促进,食物链问题;动植物、微生物在环境中的扩散与增长;传染病的传播与控制
粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积,化学反应过程的描述,热量在同种或不同物质间的传导
如果研究的是事物在一段时间内的变化情况,或者说在这个过程中发生了什么————微分方程的求解和求数值解
如果研究的是事物未来的发展趋势,稳态情形,或者无法/无须获得精确的解————可以利用微分方程几何理论
2、微分方程模型的分析方法
3、方程的阶数
注意不同阶方程的实际意义
表达的是某个变量的增长速度,与其当前状态和时间变量之间的关系。
从几何的角度来理解,表达的是函数的导数,与函数本身及自变量之间的关系。
表达的是某个变量的增量,与其当前状态和所处时间段之间的关系。
如果讨论的事物,有多个变量会随着时间变化,而且可以分析出这些变量的增长速度与事物当前状态和时间变量之间的关系,可以考虑建立一阶微分方程组。
3、方程的阶数
二阶、二阶以上的常微分方程通常用于有运动的物理现象。
通常经济、管理、生态系统等领域,较少有实际量会涉及到二阶导数,即所谓的加速度。
偏微分方程比较复杂,比如对于u(x,y):u为产品销量;x为产品价格;y为广告宣传费用。
表示固定y时,u关于x的变化速度和加速度
表示u关于x的变化速度,在y变化时的变化幅度
理解为:价格变动时销量的增幅,关于广告费用的变化速度。
4、微分和差分方程模型的解
( 1)解析解(精确解)
——适用于线性系统和少量非线性系统(伯努利方程)
(2)数值解(近似解)
——对于多数的线性系统和非线性系统,但不能对系统
的行为提供一个定性解释。
(3)定性解(定性理论分析)
——用定性理论和稳定性理论分析系统在局部和全局
的动态行为。
定性理论适用于