文档介绍：浅谈求导的方法
12级专接本杜金凤
[摘要]
导数作为一种研究数学知识的工具,在求单调性、最值、切线等方面发挥了独特的作用,并且在高等数学中占据着重要的地位。本文对求导方法进行了简单的归纳与总结。
[关键字] 导数高等数学方法
一引言
导数是初等数学于高等数学的衔接点,是高考的热点,同样在高等数学中,求导问题也是一个非常重要的内容。它是数学学****中必不可收的基础,是对函数形状研究的重要工具。因此,本文对求导方法进行了归纳,然后通过一些实例具体的介绍求导的方法。
二导数的定义
导数的定义
定义 1 设函数在点及其附近有定义。考虑在点附近(除点以外)有定义的新的函数
如果当时,有极限,则说在点是可导的,或者说在点是有导数的。而这个极限值,便称为在点的导数,记为,即
=
如果引入记号
,,
分别称之为自变量和函数的改变量,则有
定义 2 (i)设函数在一个一点为右端点的闭区间上有定义。若极限
存在,则称函数在点左可导,并称这个极限值为在点的左导数,记为。
(ii)设函数在一个一点为左端点的闭区间上有定义。若极限
存在,则称函数在点右可导,并称这个极限值为在点的右导数,记为。
由左右极限与极限的关系易得,在点可导的充分必要条件是,它在既左可导
又右可导,而且左右导数相等。此时
定义 3 设是使可导的点组成的数集。因此,对于每一个,在点都有导数。在上定义一个新的函数,使它在属于的每一点处的函数值就是。这个函数称为的导函数,记为。易见。
在大多数情况下,人们都把导函数简称为导数。
三求导的方法
1 显函数的求导法
(1) 若函数和在点可导,则函数在点也可导
.
(2) 若函数和在点可导,则函数在点也可导,且
(3) 若函数和在点可导,且,则在点也可导,且
例1设,求.
解:
=.
例2 求.,求.
解: ..
例3 ,求。
解
例4 设,求
解
复合函数求导法与反函数求导法则
设在点可导,在点,则复合函数在点可导
(1) 一般的复合函数求导法
例设,求
解:将看做和的复合函数,故
注必须指出:
(2) 反函数求导法则
设函数在x处有不等于零的导数,且反函数在相应点处连续,则存在,且
即反函数的导数等于直接函数倒数的导数的倒数。
例1 设,求
解的反函数为
而
所以
即
例2 设,求。
解的反函数
,
而,则
即
基本初等函数求导公式
(1)(c为常数)
(2)(为任意常数)
(3)
(4),
,
(5),
(6),
(7)
2隐函数求导法
由方程所确定的y于x的函数关系称为隐函数。
把隐函数化为显函数,称为隐函数的显化。例如从方程中。但有时隐函数的显化有困难,甚至有时变量不一定能用x直接表示。例如。所以不管一函数能否显化,我们希望有一种的方法直接有方程求出它所确定的应函数的导数。
要求方程所确定的隐函数y(x)的导数,只要将视为的函数,利用复合函数的求导法则,对方程两边关于求导,得到一个关于,解出就可以了。
例1 由方程确定是的函数,求。
解将方程两边对求导,得
,
解出,得
例2 由方程确定的y是x的函数,求
解将方程两边对求导,
解出,得
,
令x=,故
.
例3 由方程确定的是的函数,求其曲线上点(-2,2)处的切线方程。
解将方程两边对求导,得
解出,得
,
由,于是点(-2,2)处的切线方程是
即.
3 由参数方程所确定的函数求导法
参数方程,(存在反函数),则为的复合函数,,所以:
例1已知星型线的参数方程为
,求。
解因为,
,
所以。
例2 求曲线,在对应t=e处的切线方程和法线方程。
解由
所以切线斜率,
法线斜率
当时故切线方程为
,即
,即
例3 求由摆线的参数方程
t为参数所确定的函数导数。
解因为
所以
4对数求导法(利用复合函数求导法则)
对于一些特殊类型的函数,它既不是幂函数,也不是指数函数,称为幂指函数,我们利用对数求导法则来求
例1 求的导数。
解方法1
将方程两边同时取对数
两边对求导数得
,
所以
方法2
例2 设为实数,求幂函数的导数.
解: 因为可以看作与的复合函数,故
例3 设,求
解如直接利用复合函数求导法公式求这个函数的导数,将会很复杂,为此先将方程两边取对数,得
两边对x求导,得
于是得
5分段函数的求导法
对分段函数求导时,在分段点处必须用导数定义